Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства
Выше, в пункте 1.1 данного раздела, уже было введено понятие натуральной степени натурального числа. Расширим это понятие и сформулируем определения степеней с натуральным и целым показателями для действительных чисел.
Введём вначале понятие натуральной степени n для произвольного действительного числа а . Если действительное число а умножить само на себя п раз 
, то это произведение 
называют n -й степенью числа а и обозначают 
,т.е.
При этом число а называется основанием степени, а n — показателем степени. При n = 1 для любого действительного а имеем 
. Нулевая степень вводится только для действительных чисел, отличных от нуля, при этом для 
полагают 
. Число 0° не определено, это запрещённая операция.
Определим теперь степень с целым отрицательным показателем. Она, как и нулевая степень, вводится только для действительных чисел, не равных нулю. Пусть n — произвольное натуральное число. Степенью действительного числа 
с целым отрицатель-ным показателем 
называют число, обратное степени с натуральным показателем n :
Целая отрицательная степень числа нуль, т.е. 
, не определена.
Рассмотрим теперь основные свойства степеней с целыми показателями, опираясь непосредственно на определения степени числа и свойства арифметических операций над действительными числами.
Теорема (свойства степеней с целыми показателями). Для любых двух действительных и отличных от нуля чисел а ,b и произвольных целых чисел n , m верны равенства:
Пусть 
Тогда 
, если 
, если 
Доказательство приведём для случая натуральных показателей m и n
При доказательстве последнего свойства мы воспользовались свойством 8 числовых неравенств: 
(см. пункт 2.1 раздела 2), из которого вытекает, что при 
. Аналогично, если 
, то 
и тогда при 
и, следовательно, по свойству 7б числовых неравенств 
Замечание. Если среди чисел n и m есть равные нулю или отрицательные, то в приведённых выше равенствах (и неравенствах) следует заменить соответствующие множители согласно определению нулевой и целой отрицательной степени. Например, свойство 4 при n< 0 доказывается так:
Подробнее с доказательствами свойств степеней для случая нулевых и целых отрицательных показателей можно ознакомиться, например, в книге.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
