Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении. Доказанная теорема обобщается непосредственно следующим образом: 2-я теорема Больцано-Коши. Предположим, что функция/(x) определена, смежна с замкнутыми интервалами[a, b\, и принимает неравное значение в конце этого интервала. М = L и M = С. Тогда, независимо от того, какое число C находится между A и B, существует точка c между a и b、 /©=С.） Доказательство. Например, рассмотрим A ^ B, таким образом A ^ C ^ B Рассмотрим вспомогательную функцию p (x)= f ()-C в интервале[a, b].Эта функция непрерывна на интервале и имеет разный знак на обоих концах. ？ (А) Ф(Х) С = А-С 0, р(б)= ф(Б) С = В-С> 0 Тогда, по первой теореме, существует точка c с p ©= 0 между a \ b.

Следующие свойства (по существу эквивалентные им) следуют за доказанными свойствами непрерывной функции. Людмила Фирмаль

• При необходимости f ©= c = 0 или f © = C. Поэтому он установил важное свойство последовательных функций/(x) при intervals. It передается от одного значения к другому, и функция получает каждое промежуточное значение как значение не менее 1 раза. Эта характеристика, на первый взгляд, как бы раскрывает сущность непрерывности функций. Однако легко создать заведомо прерывистую функцию, но это свойство все же сохраняется. Например, функция[n°67, 3）] /(A 🙂 = 8 81 (xΦ0>), D0)= 0 Все общепринятые значения, в любом интервале, включая точку x = 0-1-1 принимают).

Следствие, если функция/(x) определена и непрерывна на определенном интервале 3? {Замкнутый или нет, конечный или * ) Очевидно, что первая теорема Больцано-Коши является частным случаем этого. Если A и B-разные знаки, то мы можем принять ноль за C. * Недаром Больцано подчеркивал, что эта характеристика является результатом непрерывности, но мы не можем взять ее за основу для определения непрерывности. Бесконечное), то значение, которое оно принимает в себе, также полностью заполняет определенный пробел.

• Набор значений функции {/( * )} показан в гл. М = Л%М = в U * ） I-любое число между m и M. Да / Л1 Функция f(XX) и? Нужно найти значение (X9) (xx и Xb получаем из интервала 3G). Т / («1) я /( а) м. Он основан на самом определении точных границ числового множества. Но тогда, по доказанной теореме, существует такое, что между таким значением x = x0 (которое, очевидно, принадлежит&),/(x9) точно равно/.Поэтому это число входит в набор 5/.

Таким образом, 3 ^представляет собой промежуток между концами m и M(который может принадлежать или не принадлежать самому себе-в некоторых случаях сравните с N°73). При N ° 61 мы обнаружили, что для монотонной функции только что сформулированная характеристика функции сопровождается ее continuity. It в приведенном выше примере показано, что это не всегда так. Remarks. In частные случаи, когда функция задачи является полным многочленом, обе теоремы были сформулированы задолго до строгих доказательств в общем виде.

Например, во введении к анализу Эйлера мы нашли полное описание теоремы текущей задачи, но без убедительного ее обоснования. Людмила Фирмаль

• Эта теорема применима к проблеме существования действительных корней алгебраических уравнений[ср. pv69]).Эйлер, как и другие авторы, может использовать геометрические соображения. Наконец, Лагранж***) непосредственно начинает»исследование решения численных уравнений всех степеней» в аналитических доказательствах (для полиномов) теоремы n968, которая основана на факторизации.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Теорема об обращении функции в нуль.	Существование обратной функции.
Применение непрерывных функций к решению уравнений.	Теорема об ограниченности функции.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.