Теорема об изменении момента количества движения точки
Пусть материальная точка массы
движется под действием приложенной к ней силы
(рис. 193).
Момент количества движения данной точки относительно какого-либо неподвижного центра согласно формуле (168)
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34796.png)
где — радиус-вектор, соединяющий центр
с точкой
.
Так как в общем случае движения точки векторы и
являются переменными векторами, то, по правилу нахождения производной произведения двух функций, будем иметь:
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34797.png)
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34798.png)
Но
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34799.png)
и, следовательно
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34800.png)
так как угол
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34801.png)
и потому модуль векторного произведения
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34802.png)
По теореме о количестве движения материальной точки (формула (157)):
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34803.png)
Подставляя найденные значения в правую часть равенства (I), получаем:
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34804.png)
Векторное же произведение радиуса-вектора точки
приложения силы на силу
есть момент
этой силы относительно центра
.
Таким образом, окончательно получаем:
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34808.png)
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту силы
, действующей на точку, относительно того же центра.
Проектируя векторное равенство (171) на какую-нибудь неподвижную ось , проходящую через центр
момента, будем иметь:
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34809.png)
Но проекция производной вектора на неподвижную ось равна производной от проекции этого вектора на эту ось.
На оснований этого и учитывая зависимость (169), получаем
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34810.png)
Согласно же известной из статики зависимости (33):
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34811.png)
Подставляя значения (III) н (IV) в равенство (II), окончательно получаем:
![Теорема об изменении момента количества движения точки](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34812.png)
Производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-либо неподвижной оси
равна моменту силы
, действующей на точку, относительно той же оси.
Из уравнения (172) вытекает следствие:
Если момент силы, действующей на точку, относительно какой-либо оси в течение некоторого времени равен нулю, то момент количества движения данной точки относительно этой оси все это время остается постоянным.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: