Оглавление:
Уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку плоскости и имеющей нормальный вектор
. записывается в виде
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37002.png)
Используя обозначение
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37003.png)
получим общее уравнение прямой на плоскости:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37004.png)
Две прямые, заданные своими общими уравнениями
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37005.png)
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при переменных и
пропорциональны, т.е.:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37008.png)
Две прямые, заданные своими общими уравнениями, перпендикулярны тогда и только тогда, когда верно равенство
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37009.png)
Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости и
записывается в виде
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37012.png)
Тангенс угла наклона этой прямой к оси называется угловым коэффициентом прямой:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37014.png)
а ее направляющий вектор
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37015.png)
имеет координаты, равные
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37016.png)
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37017.png)
Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом имеет вид
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37018.png)
где — величина отрезка, отсекаемого данной прямой на оси
от начала координат,
(см. рис. 2.4).
Объединив полученные результаты, запишем уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через точку плоскости
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37025.png)
Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37026.png)
то угол между ними определяется по формуле
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37029.png)
Условие параллельности этих прямых имеет вид
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37030.png)
а условие перпендикулярности:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37031.png)
Расстоянием от точки
до прямой
называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние
определяется по формуле
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37034.png)
Пример:
Даны координаты вершин треугольника :
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37039.png)
Требуется: 1) найти длину стороны ; 2) составить уравнения сторон
и
и вычислить их угловые коэффициенты; 3) вычислить внутренний угол при вершине
в радианах; 4) составить уравнение медианы
; 5) составить уравнение и вычислить длину высоты
: 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно стороне
и определить координаты точки
ее пересечения с высотой
: 7) составить уравнение окружности с центром в точке
, проходящей через вершину
.
Указание. Заданный треугольник, все полученные линии и характерные точки необходимо построить в системе координат .
► 1. Найдем длину стороны . Расстояние между двумя точками
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37050.png)
определяется по формуле
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37051.png)
воспользовавшись которой находим длину стороны :
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37052.png)
- Составим уравнения сторон
и
и вычислим их угловые коэффициенты. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37053.png)
- имеет вид
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37054.png)
Подставляя в формулу координаты точек и
, получаем общее уравнение стороны
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37057.png)
Угловой коэффициент для прямой
найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом
. В нашем случае:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37061.png)
Аналогично получим общее уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37064.png)
Далее:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37065.png)
- При нахождении внутреннего угла
для заданного треугольника
воспользуемся формулой
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37067.png)
Подставив ранее вычисленные значения и
, находим:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37068.png)
Теперь, воспользовавшись таблицами значений тригонометрических функций или инженерным микрокалькулятором, получаем значение угла в радианах .
- Для составления уравнения медианы
вычислим сначала координаты точки
, которая лежит на середине отрезка
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37072.png)
Подставив координаты точек и
в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получаем общее уравнение медианы
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37073.png)
- Для составления уравнения высоты
воспользуемся условием перпендикулярности прямых
и
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37075.png)
откуда следует, что
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37076.png)
Подставив в уравнение
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37077.png)
значение и соответствующие координаты точки
, найдем общее уравнение высоты
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37079.png)
Длину высоты определим как расстояние
от заданной точки
(—4; 5) до прямой
по формуле
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37084.png)
- Составим уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно стороне
. Воспользуемся условием параллельности прямой
и искомой прямой
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37088.png)
Подставив в уравнение
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37089.png)
координаты точки и значение
. получим искомое уравнение прямой
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37091.png)
Координаты точки , как точки пересечения прямых
и
, найдем, объединив уравнения этих прямых в систему и решив ее:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37093.png)
Отсюда координаты точки (см. рис. 2.5).
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37097.png)
- Запишем уравнение окружности с центром в точке
и радиусом, равным
в каноническом виде
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37100.png)
По условию радиус искомой окружности равен расстоянию от ее центра (точки ) до точки
. В таком случае можно записать, что
а следовательно и
:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37104.png)
Заменив в уравнении окружности координаты центра на координаты точки
а
на
получим искомое уравнение окружности:
![Уравнение прямой на плоскости](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-37108.png)
На рис. 2.5 показано построение заданного треугольника , а также всех полученных линий и характерных точек в системе координат
.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны: