Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

• Уравнение Шредингера. Определяет форму волнового уравнения физической системы Это позволяет гамильтониану приобретать основное значение во всем математическом устройстве квантовой механики. Гамильтонова форма свободных частиц уже установлена Общие требования к однородности Принцип Галилея о тропической природе пространства и относительности.

В классической механике эти требования создают зависимость второго порядка от импульса энергии частицы. E = p2 / 2 т, Где постоянная m называется массой частицы (см. I, §4). В квантовой механике одно и то же требование приводит к одинаковому отношению собственных значений энергии и импульса-1.

Все собственные значения энергии и импульса Ярмарка для операторов Людмила Фирмаль

Временно измеряемое состояние хранения (для свободных частиц) Количество. Но чтобы произошло соотношение E = p2 / 2m, : Подставьте здесь (15.2), чтобы получить свободно движущийся гамильтониан Фасонные частицы Где A = d2 / dx2 + d2 / dv2 + d2 / dz2 — оператор Лапласа.

Хэмилл Тониан системы невзаимодействующих частиц равен полному га Каждый Мильтониан: Здесь, индексировать номера частиц. Аа — оператор Лапласа. Различение плунжера производится по координатам а-й ча Capital. (17.1) (17.2) (17.3) но В классической (нерелятивистской) механике Действие частиц описано в функциональных терминах Гамильтонова потенциальная энергия взаимодействия U (1 * 1, Г2, …), это функция координат частиц.

• Добавить в Применяя ту же функцию к гамильтониану системы, Взаимодействия частиц в квантовой механике 1): d = 4 E ^ + ^ r r r2-); (17-4) но Первый член можно считать кинетическим оператором Как оператор энергии, энергия второго потенциала. частично На самом деле, одночастичный гамильтониан снаружи Mute field H = f + U (x, y, z) = — ^ A + U (x, y, z), (17,5) Зм Зм Где U (x, y, z) — потенциальная энергия внешней частицы Поле.

Замена (17.2) — (17.5) формулы (8.1) Дает волновое уравнение соответствующей системы. пить Здесь мы волновое уравнение частиц во внешнем поле ^ = AF + C / (W, y, r) Φ. (17.6) Формула (10.2), которая определяет стационарное состояние, Принять форму ^ Aφ + [E-u (x, y, r)] φ = 0 (17,7) Zm Уравнения (17.6) и (17.7) даны Шредингером В 1926 году оно называется уравнением Шредингера.

Это уравнение имеет конечное решение во всем пространстве Для положительных значений энергии Людмила Фирмаль

Для свободных частиц форма уравнения (17.7) имеет вид ^ Aφ + Eph = 0 (17,8) Е Конкретное направление движения с этими решениями Собственная функция оператора импульса, E = p2 / 2m. Полная (зависящая от времени) волновая функция Такая стационарная форма Φ = const • exp (—j \ Et-pr) ^. (17,9)

Я объясню каждую из этих функций плоских волн Состояние E, в котором частица имеет удельную энергию И импульс р. Частота этой волны Е / ч, а волна Вектор k = p / H, соответствующая длина волны L = 27 тН / p Это называется длиной волны частицы де Бройля 1).

Энергетический спектр свободно движущихся частиц глаза Поэтому он называется континуумом, продолжающимся от нуля + Каждое из этих собственных значений (но Только значение E = 0) является вырожденным и вырожденным Бесконечная множественность.

Конечно, всем, кроме Нулевое значение E соответствует уникальному бесконечному множеству Функция с разным направлением вектора p (17,9) С той же абсолютной величиной. Следите за тем, что происходит в Шродине Переход на шпатель ограничен классической механикой, рассмотрение Для простоты внешнее поле содержит только одну частицу.

Подставляя формулу ограничения (6.1) в уравнение Шредингера (17.6) Волновая функция Φ = aelS / fi, полученная путем проведения дифференцирования распределение a —- rP — + — (VS) 2 — aAS — V SV a — Aa + Ua = 0. дт дт 2м 2м м2 2a Второе уравнение, полученное после умножения на mo Может быть переписан как ^ + d i v («^) = 0. (17.11) Это уравнение имеет ясный физический смысл. а2

Плотность вероятности найти любую частицу Расположение в пространстве (| Φ | 2 = & 2); V s / m = r / t — классика Скорость частиц v. Следовательно, уравнение (17.11) имеет вид плотность Пористость «движется» по законам классической механики Классическая скорость v в каждой точке. Оспаривать Найти закон преобразования волновой функции в преобразовании Ха Налейте.

Решения. Выполнить преобразование на волновой функции Свободное движение частиц (плоская волна). Все функции Φ Закон можно найти, потому что он может быть решен с помощью плоских волн Произвольное преобразование волновой функции.

Опорная волна K и плоская волна ‘(K’ в K движутся относительно K На скорости V): Φ (r, t) = const • exp [r (r-Et) / h \, Φ ‘(r’, t) = const • exp [z (pV-E’t) / h \, Где r = r ‘+ V t и импульс частицы и энергия обеих систем связаны В других выражениях p = p ‘+ mV, E = E: + V p’ + tU2 / 2 (См. I, §8). Подставляя эти выражения в, Ф (r, Ј) = Ф ‘(r’, t) exp ч V 2 = Φ ‘(r-VЈ, t) exp г ч V (1)

В этой форме это выражение содержит Установить желаемые общие законы движения и преобразования частиц Из волновой функции любого состояния частицы. Для системы (1) индекс частиц должен быть суммой частиц.

Это уравнение чисто реальное и чисто мнимое Термин (помните, что S a является действительным числом); сделайте их равными, Чтобы получить другой отдельно к нулю, вы получите два уравнения. — + — (VS) 2 + и —Аа = 0, дт 2т 2 та — + — AS + -V SV a = 0. дт 2т т

Не обращайте внимания на первый член в этих выражениях. H2 f + i <v s> 2 + и = »• <1? ш> То есть классическое уравнение Гамильтона-Яко выглядит следующим образом bi представляет действие S-частицы. Кстати, H-> 0 Классическая механика действует до первого (ненулевого) значения h.

Смотрите также:

• Решение задач по физике

Импульс в квантовой механике	Основные свойства уравнения Шредингера
Соотношения неопределенности в физике	Плотность потока в физике