Оглавление:
Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве плоскость
задана точкой
и вектором
, перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости
. Возьмем на ней произвольную точку
и составим вектор
![Уравнения плоскости в пространстве](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-9791.png)
![Уравнения плоскости в пространстве](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-9797.png)
При любом расположении точки на плоскости
векторы
и
взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
, т. е.
![Уравнения плоскости в пространстве](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-9806.png)
Координаты любой точки плоскости удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости
, этому уравнению не удовлетворяют (для них
).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору
. Оно первой степени относительно текущих координат
и
. Вектор
называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам и
уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку
. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными и
:
![Уравнения плоскости в пространстве](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-9826.png)
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов или
не равен нулю, например
, перепишем уравнение (12.4) в виде
![Уравнения плоскости в пространстве](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-9840.png)
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку
.
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
- Если
, то оно принимает вид
. Этому уравнению удовлетворяет точка
. Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
- Если
, то имеем уравнение
. Нормальный вектор
перпендикулярен оси
. Следовательно, плоскость параллельна оси
; если
— параллельна оси
,
— параллельна оси
.
- Если
, то плоскость проходит через
параллельно оси
, т. е. плоскость
проходит через ось
. Аналогично, уравнениям
и
отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси
и
.
- Если
, то уравнение (12.4) принимает вид
, т. е.
. Плоскость параллельна плоскости
. Аналогично, уравнениям
и
отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям
и
.
- Если
, то уравнение (12.4) примет вид
, т. е.
. Это уравнение плоскости
. Аналогично:
— уравнение плоскости
;
— уравнение плоскости
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса |
Уравнения поверхности в пространстве |
Числовые последовательности |
Предел функции в точке |