Оглавление:
Устойчивость положения равновесия
- Определение устойчивости положения равновесия Для ясности рассмотрим равновесие одного твердого примера. Таким объектом является стержень, ось вращения которого проходит через точку О (рис. 107, а, б, в). Штанга имеет два положения равновесия при 0 и m] 2> 0 можно выбрать для достаточно малого £> 0, равновесие системы называется устойчивым. q ”| 0, два неравенства 7’0 <7 * / 2, | ° | 1 0 и рассмотрите значения потенциальной энергии 77 = 7 (ε, 92) и = = ((-r, q2), где гeлюбое удовлетворяет | 92 | 0, чтобы экстремум e не включал другие экстремальные значения функции П = П (q2, q2, 9n).
Укажите обобщенную координату 9, значения 9 = c и 9 = -e, то есть | 9, |. = E, остальные обобщенные координаты в этом случае удовлетворяют условию | 9, | ^ e. В этом случае выберите наименьшее / 7 из всех значений потенциальной энергии. Затем укажите значение 92 | = e для 92, но в противном случае условие | 9iKe будет выполнено во время изменения. Минимальное значение потенциальной энергии в этих условиях обозначено P2. Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, получим последовательность положительных чисел 77 ,, 772, …, П „.
В дальнейшем рассматривается случай линейного сопротивления, когда силы сопротивления точек системы пропорциональны скоростям этих точек и направлены в стороны, противоположные скоростям. Людмила Фирмаль
Минимальное значение принимается за П”. До сих пор условие | 9, | 0 и m] 2> 0 можно выбрать для достаточно малого £> 0, равновесие системы называется устойчивым. q ”| 0, два неравенства 7’0 <7 * / 2, | ° | 1 0 и рассмотрите значения потенциальной энергии 77 = 7 (ε, 92) и = = ((-r, q2), где гeлюбое удовлетворяет | 92 | 0, чтобы экстремум e не включал другие экстремальные значения функции П = П (q2, q2, 9n). Укажите обобщенную координату 9, значения 9 = c и 9 = -e, то есть | 9, |. = E, остальные обобщенные координаты в этом случае удовлетворяют условию | 9, | ^ e. В этом случае выберите наименьшее / 7 из всех значений потенциальной энергии. Затем укажите значение 92 | = e для 92, но в противном случае условие | 9iKe будет выполнено во время изменения.
- Минимальное значение потенциальной энергии в этих условиях обозначено P2. Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, получим последовательность положительных чисел 77 ,, 772, …, П „. Минимальное значение принимается за П”. До сих пор условие | 9, | <e применяется ко всем обобщенным координатам, когда система перемещает П <Γ. Система движется, когда система уведомляется о соответствующих начальных обобщенных координатах и скорости. Система сохранения является теоремой Закон сохранения механической энергии действует, если он удовлетворяет ограничениям, указанным в. T + P = T0 + P0, Где n0 = n (q ° i, q ° 2, …, q °) и T0 = T (q4, q%, …, 9 °; 9 °, 9 °, …, 9 °), т.е. величина, которая зависит от обобщенных координат и начального значения скорости. T = когда система движется.
Из закона сохранения энергии n <m0 + n0. Это неравенство выполняется, если, например, два неравенства 770 <77 * / 2 и Go <77 ‘/ 2 выполнены. Получает ряд значений q °, удовлетворяющих условию a из условия Pa ** * 12; условие T0 </ / 2 и неравенство | <M) Из q — серия q °, удовлетворяющая условиям. ^ ° | <«^ ^ ^ 0. Что касается потенциальной энергии после этого, P <T0 + P0 <P ‘. Таким образом, согласно выбору P ‘все обобщенные координаты удовлетворяют условию Следовательно, существуют положительные числа rjj и m] 2, которые определяют область начальных значений q ^ и q®, где все обобщенные координаты удовлетворяют условию. qt | <e, то есть положение равновесия устойчиво.
Из уравнения видно, что выражение суммы элементарных работ заданных сил симметрично относительно динамы. Можно, наконец, получить еще один интеграл при помощи теоремы кинетической энергии. Людмила Фирмаль
Теорема Лагранжа-Дирихле полностью доказана. В некоторых случаях равновесная неустойчивость может быть установлена на основе теоремы Ляпунова. Я показываю эти теоремы без доказательства. 1. Если минимальной потенциальной энергии системы в равновесии нет и она определяется малым членом второго порядка в ряду разложений потенциальной энергии в степени обобщенных координат, то равновесие консервативной системы Это нестабильно. 2. Система обслуживания, в которой потенциальная энергия системы в равновесии имеет максимальное значение, а существование максимального значения определяется членом низшего порядка при расширении ряда потенциальных энергий в обобщенной координатной мощности Равновесие неустойчиво.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Циклические координаты и циклические интегралы | Определение устойчивости положения равновесия |
| Канонические уравнения | Теорема Лагранжа—Дирихле |
