Вычисление длины кривой

Вычисление длины кривой

Вычисление длины кривой. Мы рассмотрели ряд вопросов, которые приводят к понятию определенных интегралов. Но есть и другой круг проблем, который приводит к понятию определенного интеграла. Они знают скорость изменения 1 суммы на другую величину, и им нужно найти первую величину, точнее, производную функции, но им нужно найти саму функцию, то есть данную функцию. 1 один из его примитивов. Эта задача решается с помощью конкретного интеграла. Это связано с тем, что такие примитивы являются, например, конкретным интегралом с переменной upper bound. As в качестве примера такой задачи рассмотрим расчет длины дуги кривой.

Все они едины в том, что нахождение значения некоторых из этих величин привело к определению предела некоторой интегральной суммы, когда тонкость разбиения стремится к нулю, то есть к определенному интегралу. Людмила Фирмаль

• Дадим кривой Γ параметрическое векторное представление Где функция r (() непрерывно дифференцируема на интервале[a, b).Тогда, как известно, кривая Γ фиксируема, а переменная длина дуги z (1), где начальная точка кривой Γ (радиус-вектор которой отсчитывается от r (a)), также является непрерывной дифференцируемой функцией параметра I интервала[a,&]. , Далее(см. раздел 16.3） Итак, по формуле Ньютона-Лейбница, если отметить длину 5 = A (b)= 5 (a) Γ 0、 для r (1)=(x(1), y (1), r (1))、 Кривая Y-непрерывная дифференцируемая функция y -!Если это граф (X) A ^ x ^ b, то выражение (32.14) принимает следующий вид: Пиар и меры. 1.Найдем длину дуги параболы 5 y-ax2, 0^.Формула ’ 32.15), заметим, что y ’ = 2ax.

Вычислите неопределенный интеграл/ = 5 V » 1 + 4a2×2x следующим образом: сначала частично интегрируйте его, затем сложите и вычитайте 1 в числитель дроби, полученной под знаком интеграла, затем разделите и Интеграл (sub когда установлено значение y = 2ax, полученная дробь. Это уравнение, которое считается интегралом / уравнением, позволяет найти его значение. Теперь вы можете легко получить интегральное значение (32.16). 2.Найдем длину астроида x = ac083^, y = a $ m31(Rie. См. раздел 75).Астроид симметричен относительно начала координат. Эта часть в Q1 соответствует изменению параметра I от 0 до Pi/ 2.Вычислите длину этой части 5 (очевидно, равную 4 минутам 1 длины всего астроида).Я заметила. Она получается по формуле (32.14) (надо поставить r ’= 0).

• Найти длину дуги эллипса. 5 х = АЗТ^, Р / = 6co8 /、 I2n, 0 5 a от верхнего края малой оси до точки, соответствующей значению параметра I e [0, 2π].Поставь e = (e-эксцентриситет эллипса), то И так оно и есть.、 Как известно (см.§ 26.6), я получил эллиптический Интеграл 2-го ряда, который не может быть представлен элементарными функциями. То есть формула в данном случае (32.17) является окончательным ответом. Приблизительное значение длины эллиптической дуги может быть получено либо путем вычисления интеграла (32.17) приблизительно, либо непосредственно с использованием таблицы доступных значений эллиптических интегралов. Упражнение. 1.Непрерывное дифференцируемое представление r = r (φ), и (плоскость cr1 вводит гадание в полярных координатах по p ^ p, но уравнение для его длины 5 2.

Длина дуги логарифмической спирали от точки R = аев(φ0、 To докажите это, вам нужно 1 Лемма. Лемма. непрерывно дифференцирующийся y = {r = r (k), 0 5 ° C 5} / ?Построенная кривая 3,5-это ее переменная длина дуги и Ar = = Р(5 + Аз) Р ($).Тогда отношение / ^ / ■стремится D5 * 0 равномерно через интервалы[0, 5].Это означает, что bd 0 существует для любого E0 и удовлетворяет неравенствам для любой точки 5ее [0, 5] и любого приращения AV (5 +дзе[0, 5]). D51 b, неравенство Доказательство. Напротив, предположим, что существует точка 8B e [0, 5] Для 0, и что eo 0 существует так, что такое приращение равно 2. D5d | c b, DGB = R (56 [два) R (5b) неравенство 6.

Если интегральная формула длины кривой стремится к нулю гранулярности соответствующего разбиения, то длина может быть выражена не только как верхний предел длины всех возможных пунктирных линий, вписанных на ней, но и как ее предел. Людмила Фирмаль

• Соответствующие точки 5e и приращения Д «δ 8n и Д5».Тогда Неравенство для всех натуральных чисел n Выберите подпоследовательность сходимости{5nib, затем 50 = Hm [0, 5] из последовательности{5π}.Благодаря непрерывному Из-за наличия дифференциала R ’(5) δ00 в точке 50, 15-50) inequalityδ0 неравенство Или то же самое r ’(b)= r’(b0)+α(α),| a(5)| y для | i −50 / 6, 5e [0, 5]. Здесь выберите естественное k0 и неравенство Затем, в соответствии с выбором приращений, Alp Неравенства] Д5″^| является| Д5Я/ перейти | г-Таким образом、 Точки 8 ″ k и 5H ^ 4 на всех 5 сегментах должны быть прекращеныТак что будьте осторожны с ним| / • ’(s0) / = 1 и что Противоречивый.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Вычисление площадей.	Площадь поверхности вращения.
Объем тел вращения.	Работа силы.