Предел элементарной функции 
при 
, стремящемся к значению 
(
), которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при 
, т.е. 
.
Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Рассмотрим основные свойства пределов:
1) Если существуют пределы функций и 
при , то
2) Если существуют пределы функций и при , то
3) Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
4) Если существует предел функции при , то
, где 
— натуральное число.
5) Если существуют пределы функций и при , причем предел функции отличен от нуля, то
При вычислении пределов часто используют два замечательных предела:
1. 
или 
2. 
или 
и их следствия:
Второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей вида 
, а остальные — для неопределенности вида 
.
Вычисление пределов значительно упрощается при использовании эквивалентности бесконечно малых.
Функция называется бесконечно малой при , если 
.
Функция называется бесконечно большой при , если 
.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших:
1) Если 
и 
при , то 
при .
2) Если 
при , то 
при .
3) Если — бесконечно малая при , a — ограниченная в некоторой окрестности точки , то 
— бесконечно малая функция при .
Две бесконечно малые функции называются эквивалентными (~), если предел их отношения равен 1. С помощью замечательных пределов можно доказать справедливость цепочки эквивалентных бесконечно малых 
при 
.
При раскрытии неопределенностей вида или 
рекомендуется пользоваться указанными замечательными пределами либо пытаться сократить числитель и знаменатель на общие (критические) множители.
При вычислении пределов нередко пользуются правилом Лопиталя:
Пусть при вычислении предела 
возникает неопределенность вида или , но при этом существует 
. Тогда 
.
Использование правила Лопиталя в большинстве случаев значительно упрощает вычисление пределов, поэтому, прежде чем приступать к вычислению пределов, необходимо повторить правила вычисления производных.
Пример:
Найти пределы функций:
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение:
а) Разделив числитель и знаменатель на большую степень 
получим
б) Умножив числитель и знаменатель на 
и используя первый замечательный предел, получим
в) Логарифмируя и используя правило Лопиталя, получим
г) Сделав замену переменных и используя второй замечательный предел, получим
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка |
| Функция |
| Вычисление пределов от рациональной дроби при x > a (a ≠ ∞ ) |
| Вычисление пределов от рациональной дроби при x > ∞ |
