Вырожденное нормальное распределение

Вырожденное нормальное распределение

• Расширим понятие многомерного нормального распределения, матрица В-любая ненулевая «Хш-матрица. A0) при любых т, п, ненулевой матрице н н \ Jn = (Ул, …, Ун) -стан- стандартным нормальным векторе называется м-мерным нормальным распределение. Невырожденное т-мерное нормальное распредэ запись получается из A0), когда матрица В имеет ранг м (см. следствие к лемме 3). Если матрица иимеет ранг фут <м, то мат- матрица ковариаций Q = B’B доказано в разделе Х.-п — лт сосредоточено в фут-мерном подпространстве LcRm, являющемся являющемся ортогональным дополнением к подпространству V = {v: vQv ‘= 0}. A1)

Похожем, что количество вероятностей в подпространстве L задается 6-мерной нормальной плотностью. мированный базнс в |, …, е * и дополним его векторми eft + i, … • Эм. До ортонормированного базиса всего Rm. координаты (Xi, …, хт) = х пространства R ‘»связаны с новыми (. ‘/!, • •., Утро) = у формулой С где С-ортогональная матрица. Для xeL имеем ///; + i = … = i / m = 0. Поэтому вектор Y ,,, = (Xm — й „, С) имеет координаты Yk + [= … = Ym = Q. Умножая A0) на С, запишем \ m = VnBC.

Отбросив в матрицу ВС последние т — к (нулевые) столбцов и обозначив полученную nX ^ -матрицу через А, имеем (YY) VA A2) A2) 105 Людмила Фирмаль

Итак, в базисе эй, …, их век- вектор Х, „-а,„ имеет координаты (Yu …, Yk, 0, …, 0), обнаруживается A2) вектор (Yi, …,) ‘„) имеет ^ -мерную нормальную величину Nk @ к, С В’ВС) = Nk @ *. C’QC). Проведенные рассуждения показывают, в частности, что рас- в зависимости от матрицы только через матрицу ковариацнй Q = B’B. за нормальными распределениями общего вида обозначение Wm (a, Q). леммы 1, легко показать, используя формулу Dа) § 10, что для любой другой гибрида Q существует вектор X с распределением NI &, Q).

Ш Отметить одну полезную связь нормального распределения общего вида с невырожденным нормальным. столбцов лХт-матрицы Я = [Ь ‘, Ъ’т] ранга k в представлении A0) какие-либо k линейно независимых столбцов bf, bik, так что остальные столбцы через них ли- линейно выражаются б / = Тогда n.Xfc-матрица [b * ,, …, b * J имеет ранг k, поэтому вектор №, Xg-UB [b ^, …. bj + (о, цель) имеет невырожденное 6-мерное нормальное распределение, остальные компоненты вектора X линейно выражаются через Х Х ь;, Ц] = , -, —А ,,, …, Xik-atk) ‘.

• Ш Мемма 5. Пусть Xm = (Xit … tXm) -нормально распределенным пользователям распределенный вектор, заданный формулой A0), Y = (X ,,. …. Xik), Z = (X / ,, …, Xjt), ide (i’i, …. i «a) и (/»i,…,/’/)-две непересекающиеся последователи определенными индексами. cov (X (j, Х / г) -0, s = l, …, k \ г = \ I, то видимые Y и Z независимы. Из определения A0) вытекает, что вектор, также имеет нормальное 106 предположения, что Y = (Х \, …, Хк),% = (Xk + i, …, Xm), cov (Xit X,) = 0, i = l, …, k; j = k + l m. Распишем матрицу в формуле A0) в виде B = [b ‘, b’m], так что X, -a, = Vnb ‘, = b’, V’n, cov (A ‘,, X /) = / M (b, U’nUnb’ /) = bIb ‘/, i = l k; /-*+l,…,m.

Используя некоррелированность компонентов векторов Y и Z, полу- получить отсюда, что системы векторов (b |, …, bfc) и (Ь * + | Ь „,) взаимно ортогональные. максимальные линейно независимые подсистемы (б, т, …. бип) и (б / ,, … …. blq). Объединенная система (Ь „Ь ^, Ь,„ …. biq), очевидно, линейно независимая. (X ,,, …, Х1р, Xh Х /?) = Un [b ,, bip, b / ,, …, b, e] имеет невырожденное нормальное распределение. лемму 4, заключаем, что случайные явления (Х, „…, X,) и (X / ,, … …, Xj) независимые. разложения Ь / = * 7, Ь /. + … + Л / рЬ <р, j …, Yn + l) = (X, —Х, …, Хп — Х, Х), где X-выборочное со лемме 6 лет-нормальный вектор, и так как среднее. cov (Yit № + |) = cov (Xi — X, X) = 0, i = 1, …, л, 107 к Y n + l = X не зависит от (Yu …, Yn) = (X1-X, …, Xl (-X).

Ранее я _ (см. § 8) было установлено лишь то, что X не зависит от V (Xt — XJ. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

• Примеры решения задач по статистике

Невырожденное нормальное распределение	Распределение проекций стандартного нормального вектора
Случайные векторы с вырожденной матрицей ковариаций	Распределение вектора оценок

Если вам потребуется помощь по статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.