Задача В10. Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди

Задача В10. Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди. Ее масса 2 кг. Масса остальной — стальной части стержня 4 кг. Длина всего стержня 1 м. Найти положение центра тяжести стержня относительно его медного конца.

Обозначим массу медной части стержня, — массу стальной части, l — длину стержня, х — расстояние от центра тяжести стержня О до его левого конца, g — ускорение свободного падения, — момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке, — момент силы, вращающей стержень против часовой стрелки, — плечо силы тяжести — плечо силы тяжести .

Решение:

Чтобы лучше разобраться с условием задачи и наметить пути ее решения, выполним подробный чертеж (рис. 124). Нарисуем стержень длиной l.

Обозначим его концы, например, буквами а и d. Медную часть стержня, составляющую четверть его длины, отделим от стальной части, составляющей три четверти его длины, точкой b.

К центру масс медной части , расположенному посередине ее, приложим силу тяжести , а к центру стальной части, тоже расположенному посередине этой части, приложим силу тяжести , вектор которой должен быть длиннее, потому что стальная часть стержня тяжелее медной. И соединим эти центры тяжести горизонтальным отрезком . Так мы получим рычаг, на концы которого будут действовать две силы: сила тяжести , стремящаяся повернуть рычаг против часовой

стрелки, и сила тяжести , которая стремиться повернуть его по часовой стрелке вокруг центра тяжести стержня О.

Теперь подумаем: где будет располагаться центр тяжести всего стержня. Это должна быть такая точка, в которой, если стержень подпереть, он останется в равновесии. Очевидно, эта точка расположена где-то между точками ближе к точке . Обозначим ее буквой О и подрисуем снизу малый треугольник, обозначающий опору. Нам требуется определить расстояние х от этого центра тяжести О до левого конца стержня, т.е. до точки а.

Согласно условию равновесия тела, имеющего ось вращения, на которое действуют две силы, момент силы, вращающей тело по часовой стрелке, должен быть равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. При выполнении этого условия тело не будет вращаться вокруг этой оси. У нас вращает тело по часовой стрелке вокруг точки О сила тяжести , а против — сила тяжести . Значит, чтобы стержень оставался в равновесии, моменты , этих сил должны быть равны друг другу:

Согласно формуле момента силы момент силы равен произведению силы тяжести и ее плеча , а момент силы равен произведению силы тяжести и ее плеча :

поэтому

Теперь осталось самое трудное: найти плечи этих сил тяжести. Напомним, что плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия этой силы. Поэтому плечом силы тяжести будет отрезок . Как же его найти?

Если внимательно посмотреть на рис. 124 и хорошенько подумать, то можно сообразить, что плечо равно разности длин отрезков , причем отрезок составляет половину медной части стержня, ведь точка делит медную часть пополам. А медная часть согласно условию задачи составляет четверть длины стержня l, поэтому отрезок составляет восьмую часть его длины. Значит,

Теперь подумаем, чему равно плечо — это будет отрезок . Посмотрев внимательно на рис. 124, можно сообразить, что отрезок равен разности отрезков . Отрезок равен сумме отрезка ab, составляющего четверть длины стержня, и отрезка , который равен половине длины стальной части стержня, равной трем четвертям длины всего стержня, поэтому