Оглавление:
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задача 1
Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости
. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если
, a
.
Решение:
Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки
будет функцией
, т. е.
. Для нахождения
воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики):
, где
— есть ускорение движущегося тела,
— результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается. Следовательно, функция
является решением дифференциального уравнения
или
. Здесь
— масса тела.
Как будет показано ниже (пример 48.5), , где
. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры и
. Согласно условию задачи, имеем:
и
. Отсюда
. Следовательно, скорость точки изменяется по закону
. Поэтому
.
Задача 2
Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отреза любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
![Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-36556.png)
Решение:
Пусть — произвольная точка кривой, уравнение которой
. Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис. 212).
Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: есть угловой коэффициент касательной; в точке
он равен
, т. е.
.
Из рисунка видно, что . Но
![Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-36545.png)
. По условию задачи
, следовательно,
.
Таким образом, получаем или
. Решением полученного дифференциального уравнения является функция
(гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4).
Другие задачи
Можно показать, что:
- закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением
, где
— коэффициент пропорциональности,
— масса радия в момент
;
- «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением
, где
— температура тела в момент времени
— коэффициент пропорциональности,
— температура воздуха (среды охлаждения);
- зависимость массы
вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени
во многих случаях описывается уравнением
, где
— коэффициент пропорциональности;
- «закон размножения бактерий» (зависимость массы
бактерий от времени
) описывается уравнением
, где
;
- закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением
, где
— атмосферное давление воздуха на высоте
,
.
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Необходимые и достаточные условия экстремума |
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области |
Уравнения с разделяющимися переменными |
Однородные дифференциальные уравнения |