Оглавление:
Закон инерции квадратичных форм
- Квадратичный закон инерции. Мы уже отметили (См. Примечание 2 в предыдущем разделе, подраздел 1) Ранг вторичен Формат равен количеству ненулевых канонических коэффициентов. Следовательно, число ненулевых стандартных коэффициентов Тов не зависит от выбора невырожденных преобразований, Форма A (x, x) приведена к стандартной форме.
- На самом деле Любым способом привести форму A (x, x) в стандартную форму. Количество положительных и отрицательных кано Коэффициент. Это свойство называется законом инерции. Вторичный формат. Прежде чем приступить к обоснованию закона инерции, Некоторые комментарии. Определите форму A (x, x) базиса e = (ei, e2, …, en) Матрица A (e) = (a ^ -): Где? i,? 2, •• -5?, n — координаты вектора x базы e.
Форма, которая использует невырожденное преобразование координат. Людмила Фирмаль
Нормальная форма Дена A (x, x) = Ai / x? + A2 / i2 + … + A * / ^, G-29) Кроме того, Ai, A2, …, A / являются ненулевыми каноническими коэффициентами. Первый q из этих коэффициентов Положительное, а следующее соотношение отрицательное. Ai> 0, A2> 0, …, Xq> 0, Ag + i <0, …, Xk <0. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат Нац фии 6): 1 G.30)
В результате этого преобразования форма A (x, x) принимает следующую форму: C 2 \ C … -nl G.31) Это называется вторичной формой стандартной формы. Таким образом, используя некоторое невырожденное преобразование Ordinate? ] ,? 2? •• 5? N векторов x с базисом e = (ei, e2, …, en) ^ i = «iifi + ai6 + … +» в? n, G.32) r = 1, 2, …, n, det (ay) 7 ^ 0 (Это преобразование является продуктом преобразования ^ в // и // br / по формулам G.30)))
Вторичная форма Приведено к нормальному виду G.31). 6) Легко видеть, что определитель этого преобразования не равен нулю. Давайте докажем это утверждение: Теорема 7.5 (форма инерции второго порядка). Номер слабый Положительный с отрицательным коэффициентом Стандартная форма вторичной формы не зависит от метода Приведите форму к этому виду.
Доказательство. Форма А (х, х) Ожидаемое преобразование координат G.32) приведено к норме G. 31) и используя другое невырожденное преобразование Уменьшить координаты до нормального вида L (x, x) = (I + C! + ¦¦¦ + (p-Cp + i —— C * -G-33) Ясно, что для доказательства теоремы достаточно проверить, что: Уравнение р = q.
- Пусть p> q. В этом случае убедитесь, что есть ненулевое значение Тор x относительно основания формы A (x, x) G.31) и G.33) форматы, координаты 771, 772, …, rjq и (p + i, •••? Вектор равен нулю: HZ = 0, / 72 = 0, …, n = 0, Cp + 1 = 0, …, (n = 0, G.34) Поскольку координата 77i получается невырожденной, G.32) Координаты? ] , …,? n и координаты (r и По тому же невырожденному преобразованию Ordinate? ] , …,? n, тогда можно рассмотреть соотношение G.34)
Как система линейных однородных уравнений для физ? ] , …,? N искомого вектора x базиса e = (ei, b2, …, en) (например, Согласно G.32, отношение 771 = 0 измеряется в развернутом виде. ? i + «12 ^ 2 + •• + + ln ^ n = 0) -p> q, так что число Поскольку гетерогенное уравнение G.34) меньше n, система G.34)
Ненулевое решение для координат? ] _, …,? N ра х. Людмила Фирмаль
Поэтому, если p> q, существует ненулевой вектор x, Соотношение G.34) выполнено. Вычисляет значение этого вектора x в формате A (x, x). Obura Склоняемся к отношениям G.31) и G.33), получаем n (x, x) = -j \ +1 -… -4 = cl + c! + — + (я Последнее уравнение возникает только если 77g +1 = …. … = 77 *; = 0 и d = B = ••• = Cp = 0-Таким образом База, все координаты (q, ^, •••?
Cn ненулевого вектора x равен нулю (См. Связь между последним уравнением и G.34)), то есть вектор х В ноль. Следовательно, предположение p> q приводит к противоречию. По тем же причинам это приводит к противоречиям и предположениям р <д. Следовательно, p = q. Теорема доказана.
Смотрите также:
| Метод Лагранжа | Классификация квадратичных форм |
| Метод Якоби | Критерий Сильвестра |
