Оглавление:
Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до ( + 1)-го порядка включительно, то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула
Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде , где
называется многочленом Тейлора, а
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства . Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .
При получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:
где находится между 0 и .
При формула Тейлора (26.3) имеет вид или , т. е. совпадаете формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы
Пример №26.2.
Найти число с точностью до 0,001.
Решение:
Запишем формулу Маклорена для функции . Находим производные этой функции: . Так как , то по формуле (26.4) имеем:
Положим :
Для нахождения с точностью 0,001 определим из условия, что остаточный член меньше 0,001. Так как , то . Поэтому при имеем
Итак, получаем приближенное равенство
т.е. .
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Формула Тейлора для функции |
Формула Тейлора для многочлена |
Геометрическое изображение комплексных чисел |
Формы записи комплексных чисел |