Оглавление:
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции состоит в следующем:
- Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;
- Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .
Пример №46.2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями: (см. рис. 211).
Решение:
Здесь
1. Находим все критические точки:
Решением системы являются точки .
Ни одна из найденных точек не принадлежит области .
2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков и (рис. 211).
На участке , где . Значения функции .
На участке , где , , . Значения функции , .
На участке : , , . Значения функции .
На участке , , . Значения функции .
3. Сравнивая полученные результаты, имеем:
а
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
Необходимые и достаточные условия экстремума |
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям |
Уравнения с разделяющимися переменными |