Оглавление:
Правило для исследования функции на экстремум вторым способом
- Найти
. - Решить уравнение
. - Исследовать знак второй производной. Если в этих точках
, то в этой точке будет минимум, а если 
, то в ней будет максимум. Если 
, то исследование надо провести по первому правилу.
Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:
1) определить критические точки функции;
2) вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка;
3) наибольшее из значений найденных в и. 2 будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке.
Если в рассматриваемом интервале имеется единственный экстремум, то в критической точке функция достигает наименьшего или наибольшего значения, смотря по тому, будет ли в этой точке минимум или максимум.
Задача №65.
Исследовать функцию 
на экстремум и найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3; 1].
Решение:
Область существования — бесконечный интервал 
.
1. Находим первую производную:
2. Для определения критических точек решаем уравнение
, откуда 
и 
.
Решая это уравнение, имеем точки 
.
Применим первое правило.
3. Критические точки разбивают область существования функции на интервалы: 
.
4. Для исследования в них знака первой производной нужно в каждом интервале выбрать произвольную точку. В первом интервале 
возьмём точку 
, во втором — 
, в третьем — 
, в четвёртом — 
.
5. Последовательность знаков первой производной в рассматриваемых интервалах запишется так:
при 
имеем минимум, 
,
при 
— максимум и 
, а
при 
— минимум и 
.
Решим задачу вторым способом, т. е. исследуем функцию па экстремум с помощью второй производной. У нас критические точки: -4, -2, 0.
Найдём вторую производную функции 
.
Определяем знак второй производной в каждой критической точке:
, при функция имеет минимум;
, при функция имеет максимум;
, при функция имеет минимум.
Найдём наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-3, 1]. Этому отрезку принадлежат две критические точки: и . , . Для решения вопроса о наибольшем и наименьшем значениях функции надо рассмотреть значения функции на концах отрезка [-3,1]: 
, 
. Отсюда следует, что наибольшее значение функция имеет на правом конце рассматриваемого отрезка в точке , , а наименьшее — в точке , .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
