Асимптотическое поведение гамма-функции

Оглавление:

Асимптотическое поведение гамма-функции

Асимптотическое поведение гамма-функции. Асимптотическое поведение гамма-функции + КОМПАНИЯ Т(5 + 1)= $ э-х-х ^ ух, 5-1, (54.53） О Если значение независимой переменной 5 велико, то его можно записать в довольно простую формулу, содержащую только основные функции. Для удобства просмотра подынтегральная функция интеграла (54.53) принимает максимальное значение при x = h. это интегрирование выполняет изменение интегральной переменной и перемещает точку x = i в новое начало координат. выполните преобразование подобия с коэффициентом, равным s, при x = i + y. y = s1, то есть * Этот пример написан в форме OFW. Цитирую из книги Рудина » основы математического анализа.«М. В 1966 Году. § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров 330. введите x-8(1 + 1).

Асимптотическое поведение гамма-функции является необязательным, но фиксированным, и чем выше точность, тем больше значение параметра s. Людмила Фирмаль

Возьми 4-00 Γ (5 + 1)= e-> 1 \ ’[e /(\ +Γ)]’.. (54.54） −1 Подумайте о возможностях φ (/)^ ^(1 +φ°;+°, (54.55） й(0 = х-1П(1 + 0.-1 * ОС、 Мы получаем Φ(/)= Ан(-1 -1 Д + ОО、 (54.56） (54.57)） 111 в 1 здесь, следовательно А(о = М+ 0（*）、^ 0■ (54.58） поскольку φ ’ (() = 1eg, функция φ as / 0 уменьшается, увеличивается на 0 и достигает максимального значения φ (0) = 1 с^= 0.Далее Настройки Таким образом, Гамма-функция может быть представлена в следующих форматах (см. (54.54), (54.55), и (54.57)） [Объектно-ориентированный G (5+ 1)= e-55 * 41 ^ e5P^’, (54.59） −1 Здесь поведение функции H (1) в I-0 описывается соотношением (54.58). Прежде чем перейти к выводу асимптотического выражения Γ (5 + 1) в 5 -> + co, мы объясним, как его подготовить, используя нестрогое, но правдоподобное рассуждение. График функции P ( / ) имеет форму, показанную на рисунке 3. 217.

As параметр 5 увеличивается, график функции[f (0) 5 «цепляется» за ось переменной I и единичный отрезок оси ординат. + КОМПАНИЯ 5°С ^ Я, (54.60） −1 Если стоять в правой части уравнения при большом значении 5 (54.59), то оно аппроксимируется интегралом. (54.61） −6 54.7.То есть, если 5 достаточно большой, как насчет −1? 8 и так далее? Поскольку 8 значений функции очень малы, каждый Интеграл б ОО. ralov ^ e8H, −1 ’(и u ^ ePn ^ ’ sI можно проигнорировать с точной точностью 1-6 Speech. By выбирая достаточно большое значение для параметра 5, естественно ожидать, что относительная погрешность может быть сколь угодно малой при аппроксимации интеграла (6 0) с помощью фиксированных и формируемых (54.61) интегралов (54.60).

С использованием достаточно малого δ0, интегрального интеграла (54.61) (54.62). Если 8 равно 0, то правой частью этого равенства будет Интеграл Пуассона как -) -](см.§ 48.2） [Объектно-ориентированный §е ’» 2 ^ » = фля. (54.63） Объектно-ориентированный В результате Интеграл большого значения 5(54.60) является в некотором смысле приближенным выражением U2N / 5 (SM.(54.62) и (54.63)). поэтому естественно попытаться доказать асимптотическое равенство + e5L ^ ^ ’ Г 5 ОО. 1 Это показывает, что это действительно происходит. e, 0 e определяют y произвольно. (54.58) из-за существования 8/0 8 1 Неравенство для всех/ e [-8, 8 е / 2 l(0 + 4 Иначе говоря (+Е) П n(0—е)». § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров Триста тридцать два.

Итак(из-за монотонности функции ex) Неравенство для всех 50 (1 + 2е) 5 г (я —2е)$ / г Е 2С. е8к^С. е2 Если вы интегрируетесь с интервалом[-6, b], вы получите: б(я +28) 51!* 6 6(!2е) 5 ′ 2 $ е 2 м.(54.64） Б-б-с. Теперь оценим, насколько Интеграл (54.61) в середине этого неравенства отличается от интеграла субъекта (54.60).Напомним, что функция φ (I)= e9H (1 = e-1 (1-U) (См. 54.55) и (54.57)) интервал увеличивается с[-1,—b], и уменьшается с[b,+ oo), все получают около s 1. Функция H (1) (см.(54.55)) достигает точного максимального значения в точке 1 = 0, и далее η (0)= 0;таким образом, k (—b)0 и k (b) 0. И= 1 получается (см. (54.63)） +(14-2e) от 5 * У1 + 00 V (1 + 28) 5 $ e » 2(1i = y Второй (1 + 28) 5 (54,64).Замените переменную интегрирования. поместите a = PIP {a1, a2, hell}и замените (54.64), (54.65), (54.66) и (54.67) получить соответствующие константы C4 0 и C5 0 (в зависимости от e). 334. § 54.

Аналогичным образом оценивается и интеграл экстремального значения неравенства. Людмила Фирмаль

Неполные интегралы зависящие от параметров Разделите полученное неравенство на] / 2l / 5 * 4-СО ’+се „«уктт „^ е “ т, © ^ −1 В 1 + 2е / ■ Следовательно, любой e 0 4-ОО Один Золото Г 2л в 1 ^ 1-st 2e 5 » [оо Если вы установите e в ноль здесь, это выглядит так Ч-ТАК Я 1-2е Пять 2л СЗН (() М. / / 1-28 Золото 5—g-с 1 = ^ C(C = \ 2л Или то же самое, желаемое асимптотическое равенство И ^ [^(1 + 0?^-] / «+、5^ + ОО. −1 По (54.54), умножив обе части на e-555/1, получим асимптотическое выражение. 5 + ‘G (5 + 1)^] / 2le〜* 5, 5 + she, (54.68） Гамма-функция называется формулой Стирлинга. Эта формула, очевидно, является обобщением Формулы Стирлинга факториала натурального числа (см.§ 37.8) и выведена из случая сложения 5-n (54.63).Потому что гамма (n -1) n ( .54.5).

Эйлеровы интегралы.	Асимптотические ряды.
Комплекснозначные функции действительного аргумента.	Асимптотическое разложение неполной гамма-функции.