Бесконечные произведения. Простейшие теоремы

Оглавление:

Бесконечные произведения. Простейшие теоремы

Бесконечные произведения. Простейшие теоремы. Связь с рангом. Если отбросить первый M член бесконечного произведения (2), то получится произведение результата Ноль ноль Pt + 1Pt + 2 * «* * * Pt + k * * * * = = X » 1(4） л-/ л + я Он полностью аналогичен остальным бесконечным рядам. 1°.Когда произведение (2) сходится, произведение (4) также сходится для любого m. и наоборот, сходимость (4) произведения означает сходимость (2)*) исходного произведения. Предоставьте читателю доказательства[ср. n°235, 1°]. Таким образом, для бесконечного произведения отбрасывание конечного числа начальных факторов или добавление некоторых новых (кроме 0) сначала не влияет на его поведение. 2°.Если бесконечное произведение (2) сходится、 НХ БТ = 1 ПГ * ОО [Ссылка(4)]. Это продолжается от равенства П БТ-р * т И от того, что Pm имеет тенденцию быть P ^ O. 3°.

Это позволяет непосредственно использовать теорию теории, разработанной подробно о серии. Людмила Фирмаль

Если бесконечное произведение (2) сходится、 НХ ПН = 1. р * х> Фактически, PN > и RL_X имеют тенденцию быть P、 Тю ЛП = \ 1mtp -=^ -. П * ТАК * Л-1 ’ [Вода n°235, 5°.] Устанавливает связь между бесконечным произведением и сходимостью ряда, не перечисляя другие свойства бесконечного произведения, подобные бесконечному ряду. В случае произведения сходимости коэффициент rf, начиная с определенного места, будет положительным(3°).Однако, учитывая 1°, предполагая, что все Pn> 0 в будущем не нарушат общности. * ) помните, что вы предполагали pn ^ 0. 4°. Для того чтобы бесконечное произведение (2) сходилось, то 2 Вт РП. (5） Н-1 Если это условие выполняется и b является суммой ряда, то: П = ЕК.

Если обозначить частичную сумму (1) ряда через 1 * n, то получим: Я -] п р п-e1p −111 * р » г п-ы• Из непрерывности логарифмической функции и экспоненциальной функции, если Pn стремится к конечному положительному пределу P, то он стремится к 1n P, а 1n Для конечных пределов Д, предел П Е1. Это часто кажется удобным при изучении сходимости бесконечного произведения (2). RP 1 4″ Запишите его как П (> + «„„). (2 *） L = I Строки формы(5） 2 Вт(!+ *“). (5 ） N л-1 В этой нотации есть простая теорема. 5°.Рэй, по крайней мере, достаточно Н a> 0(или 0）、 Сходимость произведения (2) требует, чтобы сходимость ряда была достаточной 2 “» •(6） л = 1. Для сходимости как произведения (2*), так и ряда (b), в любом случае、 (7 )） НШ ал = 0 п * оо [Ссылка 3°], предполагая, что условие эго выполнено. Затем поместите пропорции Иметь НШ п + со 1П(1 + кк） [n°6b, 1)].

В этом случае из-за того, что оба члена ряда (5) и (6), начиная с определенного места, сохраняют определенный знак, теорема 2 n°237 заставляет эти ряды сходиться или расходиться одновременно time. So, в отношении 4°, наши претензии являются: Описывает, когда бесконечное произведение «ветвится» на 0. 6°. чтобы обнулить значение бесконечного произведения (2) [или (2)], нужна сумма-ОО ряда (5) [или (5)]. Особенно если ряд (6) расходится с an> 0. Предоставьте доказательства читателю. В заключение мы используем связь между произведением (2) [или (2)] и рядом (5) [или (5)] для установления понятия абсолютной сходимости бесконечного произведения.

Произведение называется точно совершенной сходимостью, когда соответствующий набор логарифмов его коэффициентов сходится абсолютно. Исследования чисел 24b и 247 позволяют сделать вывод, что полностью сходящиеся произведения обладают транзитивными свойствами, а абсолютно неконвергентные произведения, безусловно, ими не обладают. От образца 5°, легко доказать его 7°.Абсолютная сходимость произведения (2) требует абсолютной сходимости ряда (6) и является достаточной. Образцы. 1) применить доказанную теорему к бесконечному произведению： Ноль ноль (a) w сходится и расходится при 0-Cd > 1 Н = 1 И ^ ^ X (5e) в соответствии с тем же поведением ряда）Н = 1 И (b)-4 ^ сходимость (5e) для x ^1 и 1 для дивергенции n-i до нуля(6e). 2) доказать (a> p> 0 случай） л-йо » (а + 1)…(о + н-1） 1> т Для этого достаточно установить дивергенцию бесконечного произведения.

Этот пример показывает, что использование теорий, разработанных для бесконечных продуктов, на самом деле может быть полезно уменьшить поиск ограничений последовательности при изучении бесконечных продуктов. Людмила Фирмаль

Или [см. 6e]ряд дивергенции тебя * И это легко видно из написанных рядов и гармонических сравнений. 3) завершите с большим примером преобразования бесконечного произведения в ряд, принадлежащий Эйлеру. Если вы хотите перенумеровать простые числа в порядке возрастания： П1-2, П3-3, П3-5,.. п.. если x> 1, то существует тождество (’Ой-ой(’ Или Один Рк −1 + ^ + ПК Один (П%) х + … Один (Рку Формула для суммы геометрических чисел выглядит следующим образом: Если мы умножим такой ряд конечных чисел, соответствующих всем простым числам, которые не превышают натуральное число.

Умножение рядов.	Ряд Тейлора.
Бесконечные произведения Основные понятия.	Разложение в ряд показательной и основных тригонометрических функций.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.