Оглавление:
Дифференцирование под знаком интеграла
- Дифференциал под знаком интеграла. При исследовании свойств функции (1), задаваемой интегралом, в том числе параметром y, п р О и в О Д Н О Й Т О Ф Н К К и й на Р А Р А М е т р у q 142 глава XVIII. параметры зависят от интеграла[297 При известных допущениях эта
формула может быть применена для расчета производной G (y) б Но (7) Или-используя более выразительное обозначение Коши —
один Если такая перестановка знака производной в Y и интеграла в x Людмила Фирмаль
n t e g R a l a a a». Впервые таким образом Лейбниц в 1697 году сообщил и. В письме к Бернулли. Вычисление дифференциала по этой формуле получило название «Закон Лейбница». Следующая теорема устанавливает простые достаточные условия применимости этого правила. Пусть функция/(x,y), определенная в теореме 3
прямоугольника[a,B;C,y], более смежна, чем x из[a, Y]для любой константы y в[C, y]. Кроме того, во всей области предполагается, что существует непрерывная частичная производная fu (Xu y) как функция двух*.n. для любого y из еременных[C,&\формула(7). * ) Из
- этих условий, по сути, уже вытекает непрерывность функции/(x, y) обоих аргументов, но не использует ее. Непрерывность функции/(x, y) до X обеспечивает существование интеграла(1). Зафиксируйте любое значение y=y0 и дайте ему приращение&y=K. л я (УО)=у/(Х,Л) Д
х>1(л+А) б Но Но Так что это Б ЦАО+к)-1(ПС)_Г/(Л -, У<>+К)-/(Х, У») Х От 3 до (8) Но Здесь, в случае K — >0, мы должны доказать, что предельный переход возможен под знаком 2981§1. Элементарная теория 143 (9) И так будет Без R AV- Это устанавливает наличие дифференциала G (L)=N t7 (b+^)- / W. /г->0л И наличие необходимых равенство G (л)=НШ г /г->0″) » в =Р x1U1±к)-^Х^<1х=|Г / Л Х>У^ Но Но
Для этого сначала запишите/(x,+a) — /(x, y,)&e l) (0<9<1), используя выражение Лагранжа. Людмила Фирмаль
Используя тот же p a для непрерывности функции/y'(x, y), для любого e0, I / Y’ — Y / 0m-o для x стремится быть предельной функцией D(x, _u0). Это оправдывает предельный переход под знаком интеграла (1), согласно теореме 8.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
| Равномерное стремление к предельной функции | Интегрирование под знаком интеграла |
| Предельный переход под знаком интеграла | Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра |
