Оглавление:
Эллипсоид напряжений
- Тензоры напряжений, как и другие тензоры с двумя индексами (тензоры второго порядка), могут быть связаны с геометрическими изображениями-линейными сегментами в тензорах с одним индексом (тензор первого порядка или вектор) Для квадратичных чисел поверхности (тензор нулевого ранга) — точка на оси значений, которую можно назначить. Предположим, что точка находится в точке O с включенными нормалями и углами a, p и y (рис. 172).
Установите интервал ОК в нормальное положение ВКЛ. Его значение обратно пропорционально квадратному корню из модуля RPP. ОК-1 / 7Ш-122) Если x, y, r — координаты точки K, cos a = — =, / | I x; cos p = — ^ — =. / | p „. y; cosy = — = ./|p beginn | z. Подставляя (23) (23) в (21) и уменьшая на | /> „„ | Рхх * 1 + РпУ2 + Рхх ^ + Зрухуг + 2pzxzx + 2рхуху = ± 1. (24) Это уравнение эллипсоида напряжений. Если pm не исчезает ни в каком направлении, проходя точку 0, получается эллипс. В этом случае расстояние от точки O до точки эллипсоида не равно бесконечности. Справа от (24) знак плюс (/ »„> 0) должен использоваться для растяжения, а знак минус (RilCO) должен использоваться для сжатия.
Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Людмила Фирмаль
Напряжение rp, действующее на выбранный участок, разлагается на компоненты, параллельные координатным осям. получить P „= Pnj + perj + pJi, (19) Где p x, p y и pP1 — проекции напряжения p на оси координат. Используйте (19) для проецирования напряжения pn в нормальном направлении включения. У нас есть p „„ = P „x cos a + pnu cos P + p„ r cos y. (20) Подставляя значения p „x, p„ y и p „r в (7 ‘) в (20), p„ „= Pxx cos2 a + /> ууСОs2р + p„ cos2у + 2pyz cosрcosу + + 2pjxcosycosa + /> x), cosacosp. (21).
- Эллипсоид имеет три главные оси, которые ортогональны друг другу. Тангенциальная составляющая напряжения подушки, перпендикулярная главной оси, равна нулю. Для главных осей Ohx, Ohh, Ozx уравнение эллипсоида напряжений принимает вид: Ptxi + P2yi + p3zi = ± i, (24 ‘) Где Pi, p2 и Pz — нормальное напряжение или главное напряжение главной оси. Тензор напряжений при переходе к главной оси принимает диагональную форму. / Pi 0 0 \ n = o p2 o. \ 0 0 p3J Для различных осей, проходящих через рассматриваемую точку, сумма диагональных компонент, т.е. Рхх + Р „+ Ргг = Р1 + Р2 + Рз- (25) (27) Это инвариант, который не зависит от выбора осей в рассматриваемой точке.
Если компоненты тензоров напряжений осей известны, главное напряжение plt p2, p3 определяется как корень уравнения собственного значения тензора напряжений. Bhh- / ´rhu Pxz | Lou Lou = R Pyz = 0- (26) \ Pzx Pzy Pzz-P \ Корнями этого кубического кубического уравнения являются pt, p2 и p3, аналогичные уравнениям собственного значения тензора инерции и скорости деформации. Все эти тензоры второго ранга. Если вы знаете направления для главных осей и главных напряжений pt, p2 и p3, вы также можете получить выражение, которое вычисляет компоненты тензора напряжений для любой оси декартовых координат.
В дальнейшем рассматривается случай линейного сопротивления, когда силы сопротивления точек системы пропорциональны скоростям этих точек и направлены в стороны, противоположные скоростям. Людмила Фирмаль
Предоставить их без вывода: Pxx-Picos2 ai + p2cos2 a2 + p3cos2 a3; 1 Ruu = P \ cos2₽i + p2cos2 p2 + p3cos2 p3;> Pzz = Pt cos2 Yt + p2 cos2 y2 + p3 cos2 y3; J pXy = Pyx = Pi, потому что: *! Коспдж + /? 2cosa2cos p2 + + p3cosa3cos p3; Pyz = Pzy-Pt COS p, COS Y1 + p2 cos p2 cos Y2 + + p3cos P3cosy3; Pzx = Pxz = Pt cos Yi cos a, + p2 cos y 2 cos a2 + + p3cosy3cosa3. В этих уравнениях ось Ox является главной осью Ox. Ой, Озт и углы 04, а2, а3. Ось Oy — углы pj, P2, P3 соответственно. Ось oz — угол y, y, y3.
Уравнение (27) полностью аналогично 9 в уравнении (31) и (28) Центробежный момент инерции (35) §9 для момента инерции относительно осей координат. 3. Это естественно, потому что компоненты тензора второго ранга преобразуются согласно единой формуле, которая вращается вокруг главной оси при переходе от главной оси к другим осям.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Уравнения движения сплошной среды в напряжениях | Реологическое уравнение |
| Симметричность тензора напряжений | Модели жидкостей и уравнения движения |
