Факториальные моменты

Факториальные моменты

• Факторный момент Для целочисленных случайных величин удобнее обрабатывать факториальный момент (-1 (6-1)) вместо момента M | r. — (I-g + 1), Y01 = 1. Факторный момент M |, r * может представлять момент M | r, и наоборот. Например, первый факторный момент — математическое ожидание, M £ 2 = M £! 21 + M £, поэтому D £ = -MB121 + Ml- (Ml) 2.

• Факторный момент легко вычисляется через производную функции генератора s — L Равенство Ml-qfO). (5) Как правило, действует для неотрицательных r. Ряд (3), который определяет φ ^ (s), есть s>! Сходясь с, мы можем дифференцировать каждый член с s = I Φ <“(1) = £ n” pn. (6) * р В противном случае определите Φ (0) как левую производную от l \ mqfr) (s) 9 или 5 = 1 с +1.

Ограниченный переход y (k) (1) = hm. Людмила Фирмаль

Определяется m-1—, последовательно с k = =1, r, 9 (0) (с) = φ (5). В обоих случаях вы получите (б). с того времени Mfcifl = Z pirp> (7) N (6) и (7) доказать (5). Обратите внимание, что в уравнении (5) обе части могут быть бесконечными. Таким образом, D £ также можно выразить через производную <p & (s) как м! = f; o), (8) 01 == Ф ;, (1) + Ф; (1) -К (1)] 2. о) Вычислить M £ и D |, используя (8) и (9).

• Биномиальные, пуассоновские и геометрические распределения. 1) Биномиальное распределение. φ’5 (s) = pr (ps + q) n- \ (s) = n (A-1) pCp + q) n- \ Ml-npy Dl = n (n-1) p2 + pr-n2p2 = NPQ. 2) распределение Пуассона. (S) = ae ° φ ^ (s) = a2ea M | = l, D | = a2 + a-a2 = a. 3) Геометрическое распределение. Mt-е. + Многомерная функция генерации.

5 = (£ b …. | r) — случайный вектор с неотрицательными целочисленными компонентами. P «= P <6» a}, Где a = (ai …. a,) — возможное значение вектора. Функция многомерной генерации называется fc (si, …. s,) M ^ ‘1 ^ 1 … = -.fei. «• 41 л, (S ,, 52 «* г) дс ^ дс * 2 … д $ к / Пример. Полиномиальное распределение P {£ = <) = -0l (, нл.а / л Ведро ••• P% < i + ••• + ar = n Pi + ••• + Pr = имеет функцию генератора S | pcs31i ••• I 1

Точно так же вы можете определить многомерную функцию генерации. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Решение задач по математической статистике

Формулы для вычисления математического ожидания	Мультипликативное свойство
Целочисленные случайные величины и их производящие функции	Теорема непрерывности

Если вам потребуется помощь по математической статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.