Фильтры

Фильтры

Фильтры. Ниже φ (X) обозначает множество всех подмножеств множества X. Определение 4. Пусть X-непустое множество. Много 5 секунд. (X) это фильтр (или, более подробно、 (Икс.) 1°. На ’ Е $и существует «Е§, А Е $такой: Л и Л’П Л». 2°. ф%ф, ВР. Из свойств 1°и 2° видно, что пересечение конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, не является пустым. Образцы. 1. Xφ, X∈A0φ.Затем установите 0 = {л. L0LE | (Х)} является фильтром на X. В самом деле, Л0е§ И Л’е§И Л «е3 вы Л ’ПА» =eA0ff, определение условий 1°и 2°, Как видно. 4 завершено. 2. x∈X тогда множество§= {L. heLe $(X)} является фильтром на X. Этот фильтр является частным случаем фильтра, рассмотренного в предыдущем примере, когда множество A0 состоит из 1 точки X. 3. Пусть x = m-множество натуральных чисел、 А » = {т. М N Н, М N), (62.1） Тогда множество всех Λобра образует фильтр, обозначаемый = ρ = {an\, называемый естественным фильтром.

По определению, такое число существует, потому что показанное множество состоит только из конечного числа множеств. Людмила Фирмаль

• Убедитесь, что Пу является фильтром. Действительно, если «Нппн», и поэтому Rnфφ, все Anфφ,mт, затем AАПAm = ээ*. 4.Предположим, что X = N снова. Система подмножеств множества A / является дополнением конечных подмножеств множества N, каждое из которых является естественным фильтром, называемым фильтром Фреше PNДавайте покажем, что Z’D на самом деле является фильтром. Для и и eeZd’.Максимальное количество Тождество (YY \ L) y(YY \ B). После этого набор » e /(см. (62.1)) является ПВ. It входит в состав B. In кроме того, множество натуральных чисел n счетно, поэтому если еконечно конечно по определению множества, то δ \ л является аффинным.

И, наконец, ни, следовательно,% ффff-следовательно, зл ’ это фильтр. 5. Пусть X-пространство топологии, а X-пространство топологии. Локальная топология 53 (x) формирует фильтр. Действительно, прежде всего ясно, что для каждой окрестности u e 53 (x) существуют xe (/и 1 /Φφ).кроме того, для любых 1 /Эe (X) и V e 58 (x) пересечение 11n V является открытым множеством. Поскольку в том числе точка x, локальное базовое определение топологии-XP a 11 [\ Y. Как и соседний XP e 53 (x) существует. $ 62.Ограничения фильтра 5 на 70. 6. Множество состоит из X в пространстве топологии, X в пределах X, 33 (x) локальной базы топологии в этой точке, 23 (x) всего набора»проколотых окрестностей» этой локальной базы топологии, то есть 23 (x). О (х) й! V (x)\ {x}, V(x) c =©(x).

• Тогда^®(x) образует a filter. In дело в том, что в случае c / e2 $(x), поскольку x является крайней точкой пространства X, существует точка ye ( / , следовательно, C /Φφ). кроме того, любые 0 e©(x) и V E 23(x), согласно их определениям, 0 = {/{x}, V-3 / \ {x}, V e 33(x), (x).Перекресток I! В. В. Является окрестностью точки x, поэтому в окрестности c = c существует такая окрестность№= 23 (x). V V V таким образом,№= E7 \ {x} si 0 V * следовательно, 23 (x) на самом деле является фильтром. Определение 5.Фильтр на множестве X^ = {A}будет фильтроваться на том же множестве, если a = AaB существует для множества B e$ 2 = [B \ Определение 6.Если фильтр сильнее, чем фильтр$ 2 и$ 2 сильнее, то фильтр и$ 2 называются эквивалентными.

Пример 7. 58 (x локальная топологическая база для точки x метрического пространства, состоящего из всех E-соседей, 33c (x) 〜локальная топологическая база, содержащая только окрестности радиуса 8 = n = 1.2, 58 (x) и 580 (X) равны. Записанный. Упражнение 2.Докажите, что фильтры в Примере 3 и 4 эквивалентны. Определение 7.Фильтр^называется подфильтром фильтра ı2, если каждый фильтрующий элемент является фильтрующим элементом^, то есть c. §,. Понятно, что фильтр сильнее любого подфильтра. Определение 8. Например, в примере 7 фильтр 330 (x) является основой фильтра 33 (x), а естественный фильтр rn является основой фильтра Фреше, построенного в Примере 4. Может быть полезно рассмотреть фильтры, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Определение 9.Из условия фильтр множества X§называется полным Ле§ быть (х) и ы.

Каждый подфильтр фильтра, эквивалентный самому фильтру, называется его базой. Людмила Фирмаль

• В Это следует ^％ 62.2.Фильтр Пятьсот семьдесят один В Примере 1, 2 и 4 выше фильтр был завершен. Например, в Примере 4 (фильтр Фреше), это、 Множество натуральных чисел N конечно, и подмножество натуральных чисел В, включая A, также имеет конечное дополнение в A7.Это потому, что для 4 5 5 это A7 \ Bn; a ^ \ A. Фильтры, рассмотренные в примерах 3, 5 и 6, не являются perfect. In Пример 3, естественный фильтр RY не является полным, потому что не все подмножества набора натуральных чисел, включая набор формы A»(см. (62.1)), сами не имеют этой формы. И 6 не является полным.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Разбиение множества на классы эквивалентных элементов.	Предел фильтра.
Предел по фильтру. Топологические пространства.	Предел отображения по фильтру.