Оглавление:
Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций.
- Ньютон-Лейбниц выражение абстрактных функций.. В приведенном выше обсуждении через(2Vi — > — 7V2) мы показали пространство всех линейных ограниченных (непрерывных) отображений из линейного нормированного пространства Mi в линейное нормированное пространство N2. Опология (N — >N2) в пространстве T * задается, например, нормой этого пространства. Чтобы задать топологию (систему окрестностей каждой точки) в линейном пространстве (7Vi — > — > N2), достаточно задать систему окрестностей начала координат, ибо линейность пространства, таким образом, задана.! Окрестности каждой точки. * Напомним, что для определения топологии для
конкретного множества необходимо указать множество систем, удовлетворяющих аксиомам 1 и 2(множество, удовлетворяющее этим «аксиомам» в топологическом пространстве, называется открытым множеством. Откройте метрику и нору набор!- Фиксированные пространства удовлетворяют указанным аксиомам. Теперь рассмотрим все непрерывные ограниченные линейные пространства (N2. 5912) в главе 12 (N->N12) i, вероятно, нелинейные пространства. Функции некоторых переменных Нелинейное отображение F: Ni — >N2 называется O gr A n и H m, когда соответствующее множество F (A) заключено в N2 для ограниченного множества
AczNx (нормированное нелинейное непрерывное отображение не ограничивает o b I n o). Людмила Фирмаль
Очевидно, что пространство (A/ — > — A2) является подпространством линейного пространства (LGG — > — LG2) 1, и давайте определим систему нулевой окрестности (любое натуральное n и любое e>0 ): 2Н > е={F:sup//F(х)||<е) 1М<« Поэтому мы задаем топологию в пространстве (N\ — >N2) I. Читателю предлагается подтвердить, что эта система окрестностей в пространстве (Ni-^N2)\имеет топологию. Подпространство (AZi — > — / V2) в qi(a^i->L^2) i, эта топология совпадает с обычной топологией, заданной операторной нормой. Рассмотрим отрезок L/[x0, x0+DX]). Непрерывное отображение этого отрезка F{x) в пространстве (a^i — >^2) i, то есть каждая точка x e[x0,
x0+Ah]отображается на некоторую карту F (x)^(N i->N2) i,а точка Hel отображается на G1. Мы можем определить и NT EGR из L F (x) по s e GM e n t u[x0, x0++Ah], согласно определению J F (x) dx=J F(x0+t Ah) (Ax) dt. x » 0 Где оператор F (x0-HAx) применяется к элементам Felgi каждый раз?((=[0,1] значение F (x0+ / Ax] (Ah)-элемент пространства N2-изображение элемента Ah при отображении f (x0-rtAx). Согласно композиции пункта 5, Интеграл, стоящий справа от выражения, присутствует и является элементом пространства N2. Используя эти аннотации, мы докажем формулу Ньютона-Лейбница для Интеграла абстрактной функции. Рассмотрим отображение F, которое действует на N2 и имеет сильную производную F'(X) континуума поверх X на
- отрезок[x0,x0-|-Ah]. Nl — > N2 смежно с точкой xeA/’i, и если какой-либо шар в центре точки F (x) находится в N2, то существует такой шар, что он находится в центре точки x, и jvi имеет дополнительный 3 591. Отображение F{x) смежно на отрезке[x0, XO+DX] (т. е. в наборе точек в виде{x () +/Ax}, 1)любой внутренней точки сегмента (т. е. точка равна 0Для X e{XO+ / DX} говорят, что точка x=[x (, x0+DX]стремится быть правой точкой x0/-0+0 я не уверен. Аналогично определяется тенденция x к левой точке XO+DX. Карта+(x), определенная в отрезке[x0, x0+DX], является смежной в точке XO справа, если
предельное значение+(x) равно+(XO), когда x стремится быть точкой XO справа. Аналогично, непрерывность+(x) определяется левой точкой XO+DX. Поскольку отображение F'(x) является непрерывным на отрезке XO+DX[x0,Xq+Ax], Интеграл j F ‘ (x) dx присутствует. Докажите, что существует равенство XO+LX J F ‘ (x) dx — =F (x0+DX) — F(x0), О! Это Ф О Р М Уло й Ньют ше-л е й б н и ЦА д л и Абст рэкт ны Х ф УН КЦ и й. По определению интегралов, мы можем написать H0+LH1 F ‘(x)dx=J F'(x0+t DX) (DX) di== Хо-О. с-1 с-1 Где x4=XO+^DX=D(x^+1 -^) DX, d-диаметр деления сегмента[0,1]. Между тем, F (x0+DX)-F (x0)=£[F (x0+tk+i&x)~F (x0+tk DX)]= ft=0 =£[F (x ft+,) — F (x A)]. Л-О-О. F(xft+i) — F (xk) — F’ixk) учитывают разность\x k, а из результата п. 2. Применяйте формулу до теоремы
Лагранжа. Когда-=Ф'(ХК), мы получим\ \ Ф(ХК+я) — Ф и я х к)-ф ‘(ха)х Д,||<<с SUP| / Ф '(ХД+9ftAxft) - Ф ' М лла х Джи-о<Осе||||| / D6j-tk\вместо| / DHD * Людмила Фирмаль
Абстрактная функция G (x): 1U1-> — 1U2 имеет что-то вроде N o m E R n E p R s в n o y на множестве{x}=McAri, e>0, 6>0||.F (xi) — G (x2) / / <для любых Xi и XG в множестве M, l / xi-x2 / / <b. доказательство того, что непрерывная абстрактная функция компакта At равномерно непрерывна, состоит в том, что // £[F (xft+1) — F(x ft) — F'(x.) DX / g] / <4=1 с-1 Поскольку производная F'(x) непрерывна на отрезке[x0, XO++DX], она равномерно * непрерывна на этом отрезке. Таким образом, правая часть неравенства, записанного выше, стремится к нулю при неограниченном измельчении сегментного деления[XP, x0+DX], а F(x0+DX) — F (x0)=£[F (xj) — F (x,))=4=0 =£U7 (Xfc+1)—F(xk) — F'(xfc) DHA]+£F'(xk)\x k4=0 4 = 0 «*■J с■?’W dx’, в случае d-e-O доказана формула Ньютона-Лейбница.
Смотрите также:
| Связь между слабой и сильной дифференцируемостью | Производные второго порядка |
| Интеграл от абстрактных функций | Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное |
