Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

• Связь между слабой и сильной Дифференцируемостью. Сильная Дифференцируемость и слабая Дифференцируемость-это разные понятия даже для М-мерного евклидова пространства t>2. В самом деле, рассмотрим, например, функцию двух переменных f (x)=f (x1, x2)= X) X2 Отчет, для xj+x2>O, если XX=0 и x2=0, x=(xi, x2) — точка

плоскости. Легко видеть, что эта функция непрерывна в любом месте плоскости, включая точку(0,0). В точке(0, 0) имеем т — +о т — * о фих* + /2/g/LD+P h * Где hi=(hi, h2) — точка плоскости, представляющая некоторое приращение точки(0,0) аргумента X функции f(x). Итак, мы видим, что в точке (0, 0) слабая производная f (x) существует

и равна нулю. С другой стороны, в начальной точке f ‘ xi(0, 0)—fXi(0,0)=0;это Людмила Фирмаль

непосредственно следует из определения самой частной производной и того факта, что f (xi, 0)=0, f (0, x2)=0. Итак, hi, Af (/ii, h^=f(h,h2) — F (0,0), где h=(hi, h2) — приращение аргумента, а’-0 1 / th| / j / / i / / =(/ii2+/i22) 1/2 — ^>-0, Около AJ + L2 завершено 3 585 Если вы выбираете H2-hy2, существует o (A) / 2=&i / 2, что приводит к несогласованности. Hi, значение\h\ / / 2 делится на норму h, в Ii2=hi2 в тренде ‘ 1/2, в любом hi

делится на величину o (|i), h2 стремится к нулю в| / / / g / / — >0 из определения o (L). Поэтому функция/(x) не дифференцируема в сильном смысле(0,0). Однако, если отображение F имеет сильную производную, оно имеет слабую производную, и сильные и слабые

• производные совпадают. В очень дифференцируемом отображении F (x+th)-F (x)=F'(x) (th)+o (th)=tF'(x) h+o (th)), л и М F (x+^) — ^(x)=l i m t — >0 t — >0 t — > 0 F ‘(x)h■o (th) ‘=F'(x)h, При необходимости. Мы находим условие, при котором слабая Дифференцируемость отображения F подразумевает его сильную Дифференцируемость. Докажем следующие теоремы. Если слабый дифференциал Fc'(x) отображения

F: Ni-+N2 присутствует в некоторой окрестности точки x0, и в этой окрестности точки x0*является непрерывной функцией x, то в точке x0 существует сильная производная F'(xo), а в точке x0-слабая производная F ‘ (xo). * ФК'(X) отображает пространство установки[/]для оператора рабочее место (А4- * JV2). Понятие непрерывной функции также определено нами для отображений из одного метрического пространства в другое(см. Приложение 2). Д О К а з а т е л ь с Т В О. по условию отображение F имеет слабое дифференцирование

Fc'(xo), такое, что в точке XO-1h, x0+/i e2Z (уравнение g (x0, h)=F (x0+A)—F (x0)—F (X0) — Fc'(x0) с учетом h. Элемент r (x0, h) принадлежит Людмила Фирмаль

пространству N2. Пусть o\Y )= / / x|/. Воспользуемся этим фактом и выберем функционал с — J-|/Р (х0,/г)С, Н и, следовательно, Р(х0,х) являются фиксированными. Таким образом, из эквивалентности f (g (x0,/g)),//g(x0, h) il<2 / ^(F c'(x0+e/i)/i-Fc'(x0, h)|||2// Fc'(xo+0 / g) h-Fc'(x0)h\\\/f / / / / i/ (xo e|) i/)—i / / / / i / / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i / i0 Однако существует смежность в функции x0 от x по условию Fc'(x). lim| / F;(x0+6 / i— — F'(x0) / / =O, h — >0 Таким образом, II(XO, h)\является величиной выше первого порядка малости для\h\, т. е. Fc'(x0) h является формулой r (xo, h)=F (xQ+h)—F (x0)—Fc'(x0) h, что в значительной степени доказывает существование сильной производной F’x0 и слабой производной'(X0).

Смотрите также:

Математический анализ 1 курс

Определение линейного пространства. Примеры.	Интеграл от абстрактных функций
Операторы в линейных и нормированных пространствах.	Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций.