Интерполяция функций

Интерполяция функций

Интерполяция функций. Функция [задается интервалом[a, b], аргумент X f1 + 1 значение,* = 1, 2,…предположим, что f1 + 1 фиксирован. а ^ Х1 Х1… .хп + 1 ^ б. (60.16)） Одной из простейших задач интерполяции является нахождение полинома P (x) определенной степени m или меньше. Это называется узлом интерполяции, для значения аргумента x-X1 = 1, 2,…, значение n4-1 как та же указанная функция, то есть уравнение имеет вид /（、）= /（）、 «= 1、2、….+1. (60.17)） 18 Кудрявцев Л. Д. Два Очевидно, что Pr (x) многочлен степени N.、 Р.(хD = 1,Р *(хD = 0、 * = 1, 2,…Н.+ 1、/ = 1、2、…А/ −1, 1 + 1,…. л + 1. (60.19） Поэтому искомый интерполяционный полином можно описать следующим образом: (60.20)） 554. § 60.

Такой полином P(x) называется интерполяционным полиномом, который интерполирует функции (в этих узлах интерполяции). Людмила Фирмаль

• Некоторые вопросы для приблизительной оценки Для исследования проблемы существования интерполированных многочленов P (x), удовлетворяющих условию (60.17), используются неопределенные коэффициенты a/.} −0, 1,…м \ Р(х)= х0 + ЛПХ + агх%+ … + банкомат Замените его системой (60.17). М + 1 неизвестных А0, а… получаем систему из линейного уравнения второго (n + 1)с am. А0 + Д \ х \ +. 。 。 + ytX™-/(х |） (60.18） ж + a1xp + 1 + * ■ * + Вт » П + 1-/(х / г + 1)■ Определитель, состоящий из коэффициентов этой системы в первой строке и первом столбце, М {М + 1.n -1} (число строк равно π+ 1, число столбцов равно m + 1) называется определителем вандермонда, известным в курсе алгебры. Ч?(Хи х)Д）1 Си. .х \ 1 1 * 2. * Х ^ Г1 1 х*. ■ Х * −1 П.

Один Икс.{ В этом случае этот определитель не равен нулю, поскольку все узлы интерполяции различны. Таким образом, ранг матрицы коэффициентов системы (60.18) будет равен минимальным значениям 2 чисел/ n + 1 и μ+ 1. для p / l, вообще говоря, система (60.18) не имеет решения. при ηxm решение системы (60.18) всегда присутствует, и η=(η, решение единственно, а решение nt бесконечно many. So, значение, заданное узлом (nt + 1)-m(60.16), всегда присутствует, более того, существует один многочлен меньше n, который принимает значение, заданное этими узлами. Чтобы найти интерполяционный полином P (x), можно решить систему(60.18).Однако вы можете найти его и другим коротким путем.

• Подумайте о многочлене Л=)( (Х-ХД…(Х-Х,-r)(Х-Х,^)…(X-X1 + 1) (X [X {] ■■(X; X [X (X; X, X, −0…(х хп. Один） 1 = 1, 2,…л + 1. р(х)= я%; [(х) п(х). 60.3.Интерполяция функций Пятьсот пятьдесят пять Фактически, записанное выражение является многочленом степени не выше пивной, и сила (60.19) удовлетворяет условию(60.17). Интерполяционные полиномы, описанные в виде (60.20), называются интерполяционными полиномами Лагранжа. Здесь мы рассмотрим разницу между функцией и интерполяционным полиномом Д(х)= [(х) р(х）、 Он называется остальной частью интерполяционного Терма. Предположим, что функция fn + 1 раз дифференцируема по интервалу [a, b].

Кроме того, остаток P (x) имеет те же характеристики, что и #я + 1()= Ф+) (Х), а ^ х ^ б,(60.21） Быть DI + 1) (x)= 0. Ко(Х)=(Х-Х.) (Х-Х2)…(х-хп + 1）、 зафиксируйте x e [a, b]и рассмотрите вспомогательные функции Φ（0 =（（0-§^-o (0. Функция φ (/) явно дифференцируема n + 6 раз в интервале[a, 1], (60.21) и ω (π+ 1) (0 =(n + 1)! φ (n+ 1）（/）= /（ «+«（I) („+1)!(60.22） Р(х） (B (X） ОГА + ээ / л + 1(а Или более подробно、 D (d.) = / + + 1）））、 “» а 1 б. Кроме того, функция φ ( / ) равна n + 2 точкам x, x1, x2, … она исчезает с xn + th. So, по ролевой теореме, ее производные исчезают по крайней мере в n + 1 точках отрезка [a, b], производная 2-го порядка находится в n точках и т. д.

Построение соответствующего примера довольно трудоемко, поэтому я не буду подробно останавливаться на этом. Людмила Фирмаль

• Индукционный метод показывает, что (n + 1) я производная функции φ исчезает по крайней мере 1 раз в интервале[a, 6]. из φ (η+ 1) ( ^ ) = 0, а затем (60.22) Отсюда последуют остальные оценки | Д+) / проверка (х-Х1) {х-Х2)…(х-х + 1)\ Зир | /(Н + 1)(х)|. Вообще говоря, следует отметить, что даже для функций, анализируемых на интервале[a, b], остаточный член интерполяции не стремится к нулю на интервале[a, b] как η -*°°. 18 * $ 60.Некоторые вопросы для приблизительной оценки 556. Многочлен не сходится к самой функции.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов.	Квадратурные формулы.
Решение уравнений.	Погрешность квадратурных формул.