Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов

Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов

Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов. Для вычисления значения функции очень полезно использовать выражение или ряд Тейлора. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере. 1.Расчет значения синуса. Где же он? zhh = 2(-1 к = 1 * 2л + 1 2К-1 (2Й-1Д ■ ГП(х）、 。 3 {n(2π+ 1) dx 0 0 I (2/1 + 1)! (Остальные термины были взяты в форме Лагранжа)… \ г(х)! Р^ \ рН(х). (2р + 1）、• (60.1） Предположим, вам нужно найти 10°с точностью до 3 3.In Радиан мера, 20°соответствует числу n для выбора (60.2） Тогда значение полинома Тейлора степени n в точке x =〜 Получаем искомое приближение zsh 20°.Чтобы неравенство (60.1) удовлетворяло условию (60.2)、 1/2 \ + 1 ^ 1 (2/1 + 1)! \ 9）• (60.3） если n = 1, то это неравенство не выполняется. + 3! М3 1А = _1_E 9 КБ Z3 162103 ’ Однако, если n = 2, он уже выполняется. 1/4 \ ’ 5 1 1 Один Один Формула Тейлора для функции zh имеет вид § 60.

Ряд Тейлора чередуется с фактическими аргументами, позволяя просто оценить остаток. Людмила Фирмаль

• Некоторые вопросы для приблизительной оценки Пятьсот сорок четыре Итак, zsh с точностью 10_3 20°является формулой 8Sh20 «-1 ± » G.(60.4） Получаем значение i Из таблицы с точностью до 1 (h, подставленное в Формулу (60.4)), выполняем указанные там действия, округляем результат до ближайших 10-3, получаем искомое приблизительное$ m20°. 8t20°^ 0.343**. При вычислении значения знака можно использовать ряд Тейлора, а не выражение. Абсолютное значение оставшейся части пункта 1 не превышает абсолютного значения (см. пункт 35 9).Это приводит к оценке (60.3) из других соображений, поэтому, естественно, она дает тот же результат, что и выше. 2.Вычисление значения натурального логарифма. Ряд Тейлора логарифмов Да. 1Н.（1 + *）= ^（-1） Я + 1 ^ Т (60.5） Н 1 Он может быть использован непосредственно только для вычисления логарифма числа, которое не превышает 2.

Однако из ряда (60.5) можно получить и другие разложения, позволяющие вычислить логарифм любого числа. Если мы заменим x из −60.5 на—x и вычтем результирующий ряд из (60.5)、 ОО И 1. 60-6. н-0 когда x изменяется от −1 до 1, он принимает все положительные значения values. So, используя формулу (60.6), можно вычислить логарифм любого числа. Естественно, возникнет проблема с количеством участников, которые будут участвовать в серии (60,6). * Знак «да»указывает на приблизительную эквивалентность при указанной точности. ** ’В нашем случае легко установить более сильное неравенство 10-8 r2 и отметить, что погрешность вычисления правой части выражения выбора I (60.4) из числа указанных признаков превышает-d•103 в любом случае. Таким образом, суммарная погрешность составляет не более 10. 60.1.

• Применение формулы Тейлора Пятьсот сорок пять Возвращает логарифм числового значения для указанного precision. To для этого нужно оценить остаток серии (60.6).У нас есть ОО ОО / Г. «»| −2 | * 12 ^ Т № 2 ^к-п к-0 [2A + 1 примерно в 1 =(2,+ G) ’ [1 -、»） −1’K1″»? Примените эту оценку для расчета 10 3 с точностью 1p2.Решение уравнения 1 час-Х О \икс* С-можно найти. (60.6) предполагая, что x = ^、 ОО 1п2-с-2(5ГТТГЗ » 60-8） Оценка в этом случае (60,7) равна 2 1 Ч(ч） Один (2P + 1) 3^; 1 Одинн = 0 Так что если n = 3、 I C-128-243 ^ 103 ′ Gz (z’) ’ 4•7 * Z5. Поэтому для вычисления от 1n2 до 10 3 достаточно получить первые 3 члена ряда (60.8). 2（\ +±-3 \ 1 ’38 5 * Z4 1 ′. 0.693. Для более грубого вычисления значений функций с использованием выражений Тейлора F(Х)= ф(х0)+Γ (х0)(х-хп)+… + / 1 (О)(х-х0)п + рн(х） Часто достаточно ограничиться только линейной частью, то есть первыми 2 членами. / ( * ) = Ф(х0)+Γ(х0)(х-х0）、 То есть, замените приращение функции на ее разность Ar / = f(x)-f (x0) Γ (x0) (x-x0)=} ’ (x0) Ax. Где AX = х-х0.

Формула Тейлора позволяет приблизительно рассчитать некоторое интегральное значение. Давайте рассмотрим пример такого рода. § 60.Некоторые вопросы для приблизительной оценки Пятьсот сорок шесть 3. Точный расчет до 0.0001-Интеграл Да. D-81P X 3 1-2L-2 Один рН(х). (26-1) 1 т х ’ И так оно и есть. ) 2&^ и*» * * + ^ ’**O k = 1 0 O По цитате (60.1） 0 0 о если U = 3 1 Один Один Один Один (2л +1)! (2л + 1) ’ Один ’7 Святки’ (2П + 1)! (2l + 1) 7! 7 35 280 ″ −3 0.0001 с точностью до 1111 | 1Т ^ Х ^ ^ ^ Х-Б ^ * 2 ^ + 120 $ x1yx = 1-18 + 600 ^ 0.9961 *.Не похоже, что вы не можете сделать это. Напишите формулу Тейлора для integrand. To для этого используйте известное выражение Тейлора для функции ztx (см. (60.1)) и получите.

Выполнение фактического вычисления значения функции или значения интеграла от них, используя разложение функции в ряд, считается далеким от разложения. Людмила Фирмаль

• На практике следует отметить, что применение формулы Тейлора обычно нецелесообразно, так как приближенный расчет интеграла включает производные некоторых функций, а их вычисление приводит к дополнительному накоплению errors. It удобнее использовать приближенную интегральную формулу, которая содержит только значения самой функции. 60.4 рассматривается аналогичный метод аппроксимационного интегрирования. The remark. To * ’произошла ошибка при преобразовании простой дроби в базовую 10 вместо pre.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Преобразование фурье в пространстве S.	Решение уравнений.
Преобразование Фурье обобщенных функций.	Интерполяция функций.