Задача 2.59.
Предприятие должно выпустить два вида продукции 
и 
, для изготовления которых используется три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы продукции данного вида приведены в табл. 2.34. В ней же указаны запасы сырья каждого вида, которое может быть использовано на производство единицы продукции данного вида.
Известно, что цена единицы продукции может изменяться для изделия от 2 до 12 руб., а для изделия — от 13 до 3 руб., причем эти изменения определяются соотношениями 
где 
.
Для каждого из возможных значений цены единицы продукции каждого из видов найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.
Решение:
Предположим, что предприятие изготовит 
единиц продукции и 
единиц продукции . Тогда математическая постановка задачи состоит в определении для каждого значения параметра 
максимального значения
функции
при условиях
Чтобы найти решение задачи (69) — (71), строим многоугольник решений, определяемый системой линейных неравенств (70) и условием неотрицательности переменных (71) (рис. 2.7). После этого, полагая 
, строим прямую 
(число 26 взято произвольно) и вектор 
= (2; 13). Передвигая построенную прямую в направлении вектора , видим, что последней общей точкой ее с многоугольником решений 
является точка (0; 11). Следовательно, задача, полученная из задачи (69) —(71) при имеет оптимальный план 
=(0;11). Это означает, что если цена единицы продукции равна 2 + 0 = 2 руб., а цена единицы продукции равна 13—0= 13 руб., то оптимальным планом производства является план, согласно которому производится II изделий и не производятся изделия . При таком плане производства продукции ее стоимость максимальна и равна 
.
Положим теперь 
и построим прямую (2 + 2) + (13-2) = 4+11 = 44 (число 44 взято произвольно) и вектор 
= (4;11). Передвигая построенную прямую в направлении вектора и видим, что последней ее общей точкой с многоугольником решений является точка (0; 11). Следовательно, задача, полученная из задачи (69) — (71) при , имеет оптимальный план =(0; 11). Это означает, что если цена единицы продукции равна 2 + 2=4 руб., а цена единицы продукции равна 13—2=11 руб., то предприятию также наиболее целесообразно производить 11 ед. продукции вида и совсем не производить продукцию вида . При таком плане производства продукции ее общая стоимость является максимальной и составляет 
= (2 + 2)-0+(13—2)-11 = 121 руб.
Как видно из рис. 2.7, данный план производства продукции будет оставаться оптимальным для всякого значения 
, пока прямая 
не станет параллельной прямой 
. Это произойдет тогда, когда 
, т.е. при = 5,5. При этом значении координаты любой точки отрезка 
дают оптимальный план задачи (69) — (71).
Таким образом, для всякого задача (69) — (71)
имеет оптимальный план = (0; 11), при котором значение целевой функции (69) есть
Возьмем теперь какое-нибудь значение параметра 
, большее 5,5, например 6. Полагая = 6, найдем решение соответствующей задачи (69) — (71). Для этого построим прямую 
(число 56 взято произвольно) и вектор 
= (8; 7). Передвигая построенную прямую в направлении вектора видим, что последней ее общей точкой с многоугольником решений является точка (1; 10). Следовательно, задача, полученная из задачи (69) —(71) при =6, имеет оптимальный план 
= (1; 10). Это означает, что если цена единицы продукции равна 2 + 6 = 8 руб., а цена единицы продукции равна 13—6 = 7 руб., то оптимальным планом ее изготовления является план, согласно которому производится одно изделие вида и 10 изделий вида . При этом плане общая стоимость производимой продукции максимальна: = 8-1+7-10 = 78 руб.
Как видно из рис. 2.7, план =(l; 10) является оптимальным планом задачи (69) — (71) для всякого > 5,5 до тех пор, пока прямая
не станет параллельной прямой
Это произойдет тогда, когда 
, т. е. при = 8. При этом значении координаты любой точки отрезка 
дают оптимальный план задачи (69) — (71).
Таким образом, для всякого 
задача (69) —(71) имеет оптимальный план = (1; 10), при котором значение линейной функции (69) составляет
Используя рис. 2.7 и проводя аналогичные рассуждения, получим, что для всякого 
оптимальным планом задачи (69) —(71) является — 8). Это означает, что если цена единицы продукции вида заключена между (или равна) 10 и 12 руб., а единицы продукции 
— между (или равна) 3 и 5 руб., то оптимальным планом ее производства является такой план, согласно которому изготовляется 2 ед. продукции вида 
и 12 ед. продукции вида . При этом плане производства продукции ее общая стоимость для каждого значения параметра 
составляет 
.
Таким образом, получаем следующее решение задачи (69) — (71): если 
, то оптимальным планом является 
= (0; 11), причем 
если 
, то оптимальным планом является 
= (1; 10), причем 
; наконец, если 
то оптимальный план 
= (2; 8), причем 
Эта задача взята со страницы решения задач по предмету «математическое программирование»:
Примеры решения задач по математическому программированию
Возможно эти страницы вам будут полезны:
