Оглавление:
Измерение случайных величин, процессов и полей
- Типы измерений практически не ограничены и будут меняться со временем. Некоторые из них имеют случайные свойства, которые случайным образом изменяют время и пространство. Например, случайным является кусок пшеницы, который ежегодно собирается с одного гектара. В разные годы их производительность может колебаться на несколько десятков процентов, что не указывает на неэффективность измерений. Температура измеряется случайным образом в одно и то же время (например, в большой E день) в точках с одинаковыми географическими координатами (например, в Сочи).
Случайным является скорость, с которой электроны выпрыгивают из нагретого катода электронной лампы, сила света, проникающего через дно резервуара, и многие другие. Строго говоря, все физические величины можно считать случайными, но на практике учитываются только те, чьи случайные характеристики нельзя игнорировать. Термин измерение случайных величин следует понимать как условный. Фактически измеряются числовые характеристики закона распределения вероятностей (или определяется сам закон). Как известно, это не случайно.
Если имя соответствует единице отношения, рекомендуется назвать первую единицу, содержащую префикс в числителе. Людмила Фирмаль
Поскольку случайные величины являются случайными, вы не можете установить их размер или точно измерить значение случайной величины. Конечно, невозможно определить стохастические свойства случайной величины, используя одно измерение. Многочисленные измерения должны быть организованы так, чтобы изменчивость результатов из-за случайности подсчетов можно было игнорировать по сравнению с изменчивостью из-за случайности самой измеряемой величины. Затем, используя монотонную функцию преобразования, закон распределения вероятностей для измеренной величины px ( 2) и закон распределения вероятностей для считывания прибора px (X).
Если случайный характер эталона нельзя игнорировать, закон распределения вероятностей результата измерения следует рассматривать как комбинацию закона распределения вероятностей случайного распределения O и закона распределения вероятностей считывания с O = const1. В этом случае очень трудно определить требуемый закон, поэтому он обычно ограничивается оценкой числовых свойств закона распределения вероятностей. Значение чая ( . Средняя оценка равна среднему арифметическому результатов одного измерения, а оценка дисперсии — это разница между оценкой дисперсии и показанием O = const . Sec. Как уже упоминалось, физические изменения со временем. 6.1 называется процессом.
Если это происходит случайно каждый раз во время итерации, это случайный процесс. Есть два способа описать случайный процесс. В начале из них каждой текущей временной случайной переменной присваивается … ). Во втором случае случайный процесс X (1) определяется его множеством реализаций x ( ) (рис. 58). Случайная переменная x, каждая секция 1 = = const1, следует определенному закону распределения вероятностей. Если каждая секция одинакова, то есть не зависит от времени, процесс называется стационарным.
Стационарный, стационарный случайный процесс обладает эргодическими свойствами, благодаря тому, что вероятностные свойства, рассчитанные из множества реализаций и любой из них, равны друг другу, что измеряется в одной реализации стационарного случайного процесса Вы можете получить значение. Регистрация реализации случайного процесса является типичной проблемой динамического измерения, рассмотренной в гл. 6.1. Всесторонняя информация о случайных процессах содержится в его многомерной интегральной функции распределения вероятностей Pn (x1, …, xn-, 4, …, n) = P (x (l) x1, …, x (n) xy), которая является мгновенной переменной x1.
Не превышает заданного значения и является многомерной дифференциальной функцией (плотностью) распределения вероятностей На практике они ограничиваются оценкой числовых свойств или моментов, которые, как правило, являются функцией времени. Они представляют несколько средних значений, и для неэргодических случайных процессов усреднение должно выполняться для многих реализаций. В частности, для стационарного случайного процесса начальный момент первого порядка (среднее значение) определяется как: x = Y xp (x) 0x .
Это так называемая постоянная составляющая стационарного случайного процесса (рис. 59). Рисунок 59. Нормальный стационарный случайный процесс Задача измерения обычно состоит в определении динамики и эволюции явления. В будущем будет рассматриваться случайный процесс с x (1) = 0, то есть процесс без определенных компонентов. Мера статистической зависимости между значениями стационарного случайного процесса без постоянной составляющей в момент времени 1 и 1r = 1 -x представляет собой смешанный центральный момент второго порядка x (f x) x (f -) т). Поскольку стохастические статистические свойства стационарных случайных процессов не зависят от времени, 1 можно произвольно выбрать, приняв , = .
Момент корреляции зависит только от m. Из-за эргодической природы г — (-> > Из-за перехода от фиксированного времени к текущему момент корреляции стал функцией. Корреляционная функция, определенная уравнением (41), имеет следующие свойства: 1. Когда m = 0, корреляционная функция p (0) = x (1) x (1) = x2 = a2 максимальна и равна дисперсии стационарного случайного процесса (рис. 60). Например, если измеренная физическая величина представляет собой текущую интенсивность ( ), p (0) = 2 — это общая выходная мощность и выделяется С сопротивлением 1 Ом. P (0) = o1 2 + x2, если процесс имеет постоянные и переменные компоненты. Где o2 и x2 — степени переменной и постоянной составляющих соответственно.
Максимальное значение корреляционной функции при m = 0 объясняется тем, что статистическая зависимость между значениями, неотличимыми по времени x ( ), является максимальной. Во многих случаях корреляционная функция нормализуется по максимальному значению: r (t) = p (t) p (0), затем r (0) = 1. 2. Корреляционная функция — четное число, то есть p (m) = p (-m). Это можно отобразить, выбрав 1r = 1 в качестве текущего времени и указав 1 = 6 + m (см. Рисунок 59). Следовательно, спектр корреляционной функции состоит только из косинусной составляющей. 3. Так как m — * — oo p (m) -> 0 (если обрабатывать постоянную составляющую -x2), если x ( ) не имеет детерминированной компоненты.
- 4. Корреляционная функция p (r) монохроматического колебания представляет собой косинусную волну с той же частотой. Доказательство этого важного свойства рассматривается ниже. Важным результатом является то, что информация о фазовой структуре процесса теряется при корреляционном преобразовании. 5. Корреляционная функция суммы независимых процессов равна сумме этих корреляционных функций. Наряду с предыдущим свойством это свойство используется для оптимальной фильтрации и суммирует гармоники сигнала в момент времени t = 0. 6. Корреляционная функция связана со спектром мощности случайного процесса прямым и обратным преобразованием Фурье. 0 ( ) = 2G Ct) e (12) 1> Я вижу (43).
Эта позиция известна как теорема преобразования Винера-Хин-Чина. Таким образом, спектр мощности и корреляционная функция служат неслучайными характеристиками случайного процесса. Корреляционные функции являются ключевой характеристикой стационарных случайных процессов, которые могут быть измерены для определения внутренних статистических характеристик. В действительности, однако, конечность времени усреднения T определяет оценочное значение, а не корреляционную функцию (41). Это указывает на необходимость корректировки результатов измерений.
Причина его возникновения может заключаться не только в конструкции измерительных принадлежностей, но и в неправильном использовании. Людмила Фирмаль
Вы можете получить идею из следующего примера. Пример 39. Гармоническая вибрационная корреляционная функция uy) = 1 w 51n (d> 4- p) и коррекция при измерении на интервале усреднения T, оценка корреляционной функции RNO- ^ m5 n ( + p) Ut8 * n1 ( + m) 4- p U = ^ Y (co5 pc — cos (2w + + pc — (- 2 p) DO-. Ep cos pc-cos (2sh 4-шт + 2 p) 12sh . Подставляя 2sh = x, Ut 2 G7 Ut cos pc — I co8 (x4-pc + 2h>) 1x- ^ cos pc- — ^ 8- ^ cos (pc + wT + 2 p). c (x) = ^ 1 ^ CO5 (pc + 1uG + 2f) p (t) -P (t) + b (t). Следовательно, поправка 0 (t) является гармонической функцией с той же частотой, что и p (t), но начальная фаза включает в себя фазу гармонических колебаний и (1) информацию (рисунок 61).
Поправка 0 (t) особенно важна на низких частотах и уменьшается с увеличением времени усреднения T. В t-H коррекция добавляется на разных фазах (включая следующие), поэтому комплексный сигнал p (O) — * p (O) является противоположностью корреляционной функции). Инструмент, предназначенный для определения корреляционной функции (коррелятор), работает на практике. Шкала времени (рисунок 62) и накопление информации (рисунок 63). В первом случае измерительная схема включает в себя настраиваемые линии задержки, умножители и интеграционные цепочки (сдвиговые регистры, умножители и сумматоры в цифровой версии). Вторая — это промежуточная запись информации Rns. 61.
Корреляционная функция гармонического процесса и ее коррекция в измерении Рисунок 63. Измерение корреляционной функции с использованием запоминающего устройства Для магнитной или бумажной ленты. В любом случае наиболее важной стандартизированной характеристикой измерения является время усреднения (постоянная времени интегральной схемы). Соответствует ли это значение стандарту, следует контролировать во время калибровки прибора. Другим способом определения корреляционной функции является обратное преобразование Фурье спектра мощности (43). Оба метода полностью эквивалентны, и ваш выбор зависит от практических соображений.
Определите частотную характеристику линейного измерительного прибора, используя возможность измерять или рассчитывать спектральную плотность мощности стационарного случайного процесса, используя уравнение (42). И стационарные статические характеристики. В этих случаях спектральная плотность мощности входного и выходного сигналов при применении к входу стационарного случайного процесса равна ( ) = Нет ( >) 7 (со). (44) Если известен спектр мощности тестового сигнала в виде стационарного случайного процесса, Где Ox ( ) — измеряемая величина. Если (w) неизвестно, его измеряют с помощью спектрометра класса высокой точности с известной частотной характеристикой. 0x ( u) = (K ) ( ) 6 r (s) (45) Далее из уравнений (44) и (45).
В любом случае нелинейность статических и динамических характеристик прибора приводит к искажению выходного сигнала по сравнению с входным сигналом. Это необходимо учитывать при подготовке и проведении измерений, а также при обработке и анализе результатов. Обобщением понятия случайных процессов является понятие случайных полей. Под полем понимается функция 2 (x, y, r, …) некоторых координат. 2D, 3D, … В реальном пространственно-временном континууме физическая величина является функцией трехмерного пространства и времени.
Изменение физической величины вдоль любого направления случайного поля аналогично случайному процессу, единственное отличие состоит в том, что пространственные координаты играют роль во времени. Это определяется соответствующей многомерной функцией распределения вероятностей физической величины. Если закон распределения вероятностей не изменяется вдоль пространственных координат, поле называется изотропным, если оно не зависит от направления пространства. Однородные и изотропные случайные поля пространственных корреляционных функций , рРИ-х ^ мл) Где r, r, r — координаты двух разных точек в пространстве, Aj = 2 — .
Пространственно-временная корреляционная функция для стационарных (во времени), однородных и изотропных (в пространстве) случайных полей Где m = 2 — A, а столбец означает среднее значение по времени и пространству. По аналогии с полевым процессом вводится понятие пространственной частоты. Пространственный спектр неслучайного поля пространства-времени Me — — ~ ( > *) — ^ ДДх (1, г) eМг, Где k и a — пространственные и временные частоты соответственно. Пространственно-временной спектр мощности стационарного однородного изотропного случайного поля связан с пространственно-временной корреляционной функцией соотношением Винера-Хинчина. О (I, к) p ( , Лг) еййЛг; p (m, Dt) = ^ 5 T * 0 ( o, k) e 1 m1k.
Случайное поле Средства для измерения пространственных и пространственно-временных характеристик могут быть контактными и бесконтактными. Поскольку для отображения пространства требуется относительное движение, контактное стационарное средство регистрирует только процесс. Недостатком контактного средства является возмущение измерительного поля из-за первичного измерительного преобразователя. При организации и проведении измерений и интерпретации результатов вы должны учитывать их.
Бесконтактные приборы могут использовать высокое и низкое разрешение, а первоначальное исследование пространства выполняется путем сканирования или относительного движения с накоплением и усреднением данных. Во-вторых, из-за низкого разрешения все пространство усредняется. Во всех случаях средний интервал между временем и пространством является наиболее важной стандартизированной характеристикой измерения. Он должен контролироваться во время калибровки прибора, во время подготовки и выполнения измерений, а также во время обработки и анализа результатов. Обобщением понятия случайных процессов является понятие случайных полей. -Обобщением понятия случайных процессов является понятие случайных полей.
Смотрите также:
| Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов | Показатели качества |
| Динамические измерения | Измерение качества |
