Канонический вид линейных операторов

Канонический вид линейных операторов

• Каноническая форма линейного оператора В этом разделе описывается конкретный выбор Эта матрица является специальным базисным линейным оператором Оператор имеет простейшую форму, называемую жордановой формой. Матрица.

• Понятие сопутствующего элемента A вводится. Элемент определения x называется элементом вложения Оператор A, соответствующий собственному значению A (если есть) Целое число m ^ 1, отношение (A-AI) mxфО, (А-AI) m + 1x = 0 Кроме того, число m называется порядком присоединенного элемента x.

То есть, если x является присоединенным элементом порядка m, Элемент (A-A1) mx является собственным вектором оператора A. Людмила Фирмаль

В этом разделе мы докажем следующую основную теорему: Теорема 5.32. Линейный оператор, действующий на A n-мерное евклидово пространство V. Базис существует {eP, * = 1, 2, …, /; m = 1, 2, …, pl; n \ + n2 + … + ni-n, E.95) Формируется из собственных векторов и связанных векторов раА. Действие оператора А описывается следующим образом: Ratio: b1k = \ ke1k, k = 1,2, …, /; e ^ = A ^ e ^ + e ^, k = 1, 2, …, /; m = 2, 3, …, n *. E.96)

2) Кроме того, отношения Aed = Прежде чем приступить к доказательству, сделаем несколько замечаний. Замечания 1. Очевидно, что вектор е ^ базиса E.95 имеет вид Собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению Ням А / .. E.96 из определения сопряженных векторов и отношений) Следовательно, вектор e ™ (k = 1, 2, …, f; m = 2, 3, …, Pk) равен.

Сопряженный вектор степени m, соответствующий собственному значению Значение А / соответственно. Замечание 2. Глядя на уравнения E.13) и E.12) E.96) Отношения действительно определяют поведение оператора РаА пространства V данной базы {e ™}. Замечание 3. Матрица A линейного оператора A базиса {e ™} Очередной «сотовый» внешний вид. L! Ох \ L2 A = о E.97)

Где ячейка L / представляет следующую матрицу: (Xk 1 0 … O \ O L * 1 … O 0 0 0 \ 0 0 0 1 E.98) Замечание 4. Матрица формата А.97 линейного оператора А) Этот оператор называется жордановой матричной формой. В то же время Ячейка L /, обычно называемая Matrix A Jordan Cell. Теорема 5.32 о приведении матрицы операторов к простой матрице Формат E.97) — матрица операторов Иорданская пена. Замечание 5.

Иорданский формат E.97) шествия К порядку положения L / ячейки по диагонали Цзы. Этот порядок зависит от порядка нумерации уникальных значений. Ny Xk. Предложите доказательство теоремы 5.32. А.Ф. Филиппов 23). 23) Простое доказательство теоремы для упрощения матрицы Филиппова А.Ф. Иорданская форма // Нарушение физики в Московском университете. 1971. Нет. 2. Для доказательства теоремы доказательства теоремы 5.32

Используйте индукционный метод. Если n = 1, утверждение теоремы очевидно. Я видел это. n> 1 и теорема верна для размерных пространств меньше чем n. В этом предложении Пространство размерности n. В результате, Bump. Пусть Л — собственное значение А. Согласно теореме 5.8 Это число является характеристическим уравнением det (A- -AI) = 0.

Следовательно, линейный оператор ранга r 24) B = A-AI E.99) Меньше чем n, то есть r <n. Линейный оператор B отображает пространство V в подпространство Недвижимость imB. Следовательно, оператор B использует подпространство imВ Размерность r <n к тому же подпространству. По предположению индукции Основы IMB {Bn, * = 1, 2, …, p; m = 1, 2, …, r ;; r \ + r2 + … + gr = r, E.100)

• Действие оператора B от imB до imB определяется как Ratio: Bh’fe = ™ «\ k = 1, 2, …, p; m = 2, 3, …, rk. E.101) Следовательно, на основании этого матрица B оператора B имеет вид im B к im B 25) имеет следующий вид ячейки: B = / О \ м2 24) Напомним, что ранг r линейного оператора B равен размерности imB. стык Согласно теореме 5.6 ранг r равен рангу матрицы этого оператора.

25) B указывает на оператора B, действующего на imB из imB. Оператор B first mi [m \ ^ 0) только собственное значение Равно нулю Каждый ранг ячейки равен Mk (см. E.102), поэтому \ ± k-0 Ранг ячейки равен rk-1 и / i /, φ0 равен r / МСЭ-Т E.100), ранг матрицы B равен 5 ^ = 1 rk-m \ -m-mn .

Размерность подпространственного бордюра равна mi 26) Линейная оболочка векторов h [, hl2j …, hjrai. Людмила Фирмаль

Эти векторы Линейная независимость формирует основу бордюра. по-видимому кег VS C кег B. кег B base h ^, hl2, …, h.lmi добавлен в кег B base Вектор g /, k = 1, 2, …, затем = n-r-cn \ (размерный бордюр В теореме 5.1 он равен n-dimimB, т. Е. N-d). г /, г кер б, Bg / e = 0. E.103) Тогда используйте вектор h ^ fc, k = 1, 2, …, mi. с того времени Эти векторы принадлежат imB и существует вектор f ^ G Y. какие W k = hrk \ k = 1,2, …, b. E.104) Теперь вектор h% (k = 1,2, …, p; m = 1,2, …, rfe), gfe (* = 1, 2, …, mo), ffe (* = 1,2, …, Линейная независимость.

Рассмотрим следующую линейную нулевую комбинацию f Из этих векторов: V rk m0 E ^ k = o. E.YU6) к = 1 Рассмотрим действие оператора B на этот элемент f. Дай вам k = 1 k = 26) Ранг матрицы B — это didimB. Согласно теореме 5.1, didimB + + дим кер B = р. Следовательно, dim ker B = mi. Согласно E.101), E.103) и E.104) следующая формула: k = l k = lm = 2 k = l E.107)

Отношение E.107) линейно равно нулю Комбинация базисных векторов {h ™}, таким образом Эти векторы показанной линейной комбинации равны нулю. по [k = TTii для [ik = 0], поэтому из E.107, коэффициент Вход b.hkk точно равен 7 и 5, поэтому 7 & = 0- Отношение E.106) Получите уравнение g = E & 8 * = ~ E E a (тК, E-108) k = 1 k = 1m = 1

Оттуда вектор g становится линейным. Векторная комбинация {g ^} принадлежит бордюру (вектор Ядро {gk} является частью основы бордюра). С другой стороны, с Е.108), г Он принадлежит к линейной комбинации векторов h ™, т.е. imB. К следующему Ну, г принадлежит бордюр (помните, что бордюр является пересечением imB и обуздать), поэтому g = ^ Г = 1 ^^ 1- Линейный диапазон набора векторов {gk} и {,,} равен.

Только нулевые элементы являются общими (эти наборы вместе составляют основу обуздать) И как установлено, г принадлежит каждому из перечисленных Линейная оболочка, тогда g = 0. Но тогда с E.108 /? & = 0 (K = 1, 2, …, затем) и act = 0 (k = 1, 2, …, p; m = 1, 2, …, rk). Следовательно, E.106)

Все коэффициенты линейной комбинации векторов E.105) равен нулю, то есть вектор E.105) линейно независим. Общее количество векторов (E.105) равно r + затем + m . С тех пор = = н-р-ми (это было установлено выше с доказательством на момент введения В случае вектора gfc) общее число векторов E.105) равно n, поэтому Сформировать фундамент В. tk = K + 1 E.109)

И запишите этот базисный вектор в следующем порядке: Серия: {gi}; {g2J; …; {gm0}; {C, …, h ^, h ^ + 1}, k = 1,2, .., mi; E.110) {хк …, ч? fc}, k = mi + 1, …, p Рассмотрим действие оператора B на вектор базиса E.110) E.101), E.103), E.104) глядя на страну V. отношения и Подтвердите, что действие B в E.109), основание E.110) определяется соотношением.

Тьма Bg / e = 0, * = 1, 2, …, мес, чч? Fc + 1 = hrk \ k = 1, 2, …, ми И E.101). Таким образом, на основе E.110 оператор B = A-AI работает в соответствии с L. E.96) показано в описании теоремы 5.32. Но с этим Базовый и оператор A = B + AI работают по одним и тем же правилам. — Рема это доказал.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Приведение квадратичной формы к сумме квадратов	Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Общие замечания
Унитарные и нормальные операторы	Ортогональные операторы