Оглавление:
Ортогональные операторы
- Ортогональный оператор. Комплекс евклидов Важную роль играет единственный оператор, введенный в §7. Аналог фактического евклидова унитарного оператора Пространство является ортогональным оператором. Определение 1. Фактический линейный оператор P Реальное евклидово пространство V называется ортогональным.
- Будь х и у от (Px, Py) = (x, y). E.119) Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скаляр Новая работа. В следующих случаях ei, B2, …, en — ортонормированные базисы евклидова пространства V. Далее, Pei, Pe2, …, Rep также являются ортонормированными. в Условие E.119) называется ортогональным условием Оператор П Следующее предложение верно. Теорема 5.36.
Линейный оператор P является Тогонал, необходимо и достаточно, чтобы была Torus Px и уравнение P * = P1, E.120) Людмила Фирмаль
Где P * — оператор, связанный с P, а P ~ 1 — обратные операторы. К р Доказательство. 1) Нужно. P Ортогональный оператор, т.е. выполняется условие E.119). в Если мы изменим присоединенный оператор P *, это условие становится Формат (P * Px, y) = (x, y). Так что любой х и у Свойство ((P * P-1) x, y) = 0 Предполагая, что у произвольно, это уравнение изменяет элементы х.
Получим линейный оператор P * P-I, действующий справа lu (P * P-1) x = 0. Следовательно, P * P = I; можно убедить точно так же Это ПП * = я. Следовательно, операторы P * и P противоположны друг другу, Другими словами, условие E.120) выполнено. 2) Достаточно. Убедитесь, что условие E.120) выполнено. Тогда, Вы можете видеть, что PP * = P * P = I.
Глядя на определение сопряженных операторов Получить о только что написанных отношениях, любые х и у Уравнение (Px, Py) = (x, P * Py) = (x, 1y) = (x, y). Вы можете видеть, что условие E.119) выполнено. Поэтому Опера- Тора P ортогональна. Теорема доказана. Здесь мы вводим понятие ортогональной матрицы P. Определение 2. Матрица P называется ортогональной, если P’P = PP1 = /, E.121)
Где P — транспонированная матрица и / — единичная матрица. Если ei, b2, …, en — ортонормированные базисы в евклидовом пространстве Пространство V, оператор P есть Когда матрица базиса {e ^} ортогональна. Продолжает прямо с E.121) Если P = (pf) ортогонально, ei ％ g | 0 при k f I Б-1 В В сложном евклидовом пространстве, ортогональный аналог Матрица является унитарной матрицей.
- То есть матрица U Если есть одно отношение U * U = UU * = /, E.122) Где C / * — эрмитова сопряженная матрица, т. Е. U * = U1 ‘. Здесь, Инсульт означает транспонирование, а бар означает комплексное использование. Для ортонормированного базиса матрица Линейный оператор U Оператор U является унитарным. В заключение рассмотрим, например, ортогональное преобразование В одномерных и двумерных пространствах.
Для одного измерения формат каждого вектора x равен x = ae. Где это Вещественные числа и е — векторы, которые генерируют это пространство. Тогда Pe = Ae и (Pe, Pe) = A2 (e, e) = (e, e), поэтому A = ± 1. Так что в случае одного измерения, два ортогональных нй преобразование: Рхх = хиРх = —х.
Для 2D определено каждое ортогональное преобразование. Людмила Фирмаль
Делится на любую ортонормированную основу Квадратичная матрица, т. Е. Матрица P = (,). Из государства Wii PP; = P’P = Я следую a2 + b2 = 1, a2 = d2, b2 = c2, ac + db = 0, ab + cd = 0 a = cos (p, b = -sin y? Форма квадратичной матрицы ^ Я ± грешу если ± потому что если Кроме того, во второй строке в обоих случаях должен использоваться знак +. Или подпись.
Обратите внимание, что detP ± = ± 1. Ортогональная матрица P + является Подходящая ортогональная матрица P_ неуместна. Оператор Pb, имеющий матрицу P + в ортонормированном базисе ei, B2 На плоскости ei, B2 есть угол поворота cf. Оператор P_ и матрица О 1 Введем P_, матрица Q = I J. Это П_ (Обратите внимание, что p = 0, а P_ = QP +.
Отражение Q соответствует матрице Плоскость для оси ei и, следовательно, действие оператора P_ Он состоит из поворота угла cp с последующим отражением. Поскольку вектор iLei, P + G2 ортогональн, P +, ортонормированный базис и операторная матрица в этом базисе pa P_ соответствует Q.
Другими словами, это диагональ. В общем случае ортогональный оператор P имеет вид евклидово пространство n-мерное, ортонормированное База ei, b2, …, en, где матрица оператора P имеет вид 1 \ -1 -1 \ В этой матрице все элементы, кроме экспортируемого элемента, равны нулю. Таким образом, на некоторой ортонормированной основе, действие Ортогональный оператор сводится к непрерывному вращению и Отражение на координатную ось.
Смотрите также:
| Канонический вид линейных операторов | Метод простой итерации (метод Якоби) |
| Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Общие замечания | Общий неявный метод простой итерации |
