Контрольная работа на тему: дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Оглавление:

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Задание: Решение задач на нахождение производных и дифференциалов с использованием правил и формул дифференцирования.

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

12.1. Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы «Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной функции.

12.2. Найдите производную функции:

Вам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!

Ты выше мира был, как древние пророки.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг

И с лестью смешивал безумные упреки.

Выполнив задание 12.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию автора стихотворения — поэта серебряного века.

Фамилия автора стихотворения:

Карта ответов:

12.3. Выясните, как находится производная функции в точке.

12.4. Найдите производную функции в указанной точке:

12.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

12.6. Найдите дифференциал функции:

12.7. Выясните, при каких значениях производная функции отрицательна.

12.8. Найдите область определения функции, полученной в результате дифференцирования данной функции: .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

или .

Производная функции есть некоторая функция , производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцирования.

Пусть и — дифференцируемые функции, — константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной — для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций — сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1.

Найдите производную функции .

Решение:

Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

Константу можно вынести за знак производной по правилу: . Тогда

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

Ответ: .

Пример 2.

Найдите производную функции .

Решение:

Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

Ответ: .

Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую функцию, то производная функции в точке является числом. Для нахождения производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.

Пример 3.

Найдите производную функции в точке .

Решение:

Сначала найдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом :

Для нахождения производной функции в точке в производную вместо аргумента подставим :

Тогда .

Ответ: .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или . Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: , дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: .