Задание: Приложения определённого интеграла.
Цель: формирование умения применять определённый интеграл для вычисления площадей плоских фигур.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
30.1. Сформулируйте, в чём заключается геометрический смысл определённого интеграла. Какие типы плоских фигур, для нахождения площади которых используется определённый интеграл, существуют?
30.2. Выполните домашнюю контрольную работу №2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
Методические указания по выполнению работы:
При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:
1. Постройте линии, ограничивающие фигуру.
Возможны следующие варианты:
а) 
— график — прямая линия, строится по двум точкам;
— график — прямая, параллельная или совпадающая (при 
) с осью 
;
б) 
— график — парабола. Для её построения используйте либо метод преобразований, либо классический способ построения:
- найдите координаты вершины
, где 
получается подстановкой 
в уравнение параболы; - составьте таблицу значений (пункции
, выбирая значения 
близкими к :
- в системе координат по точкам, найденным в выше, постройте параболу;
в) 
— график — синусоида.
2. В соответствии с таблицей «Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла» определите вид фигуры и составьте формулу для вычисления площади фигуры. Обратите внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы интегрирования следует находить аналитически, приравнивая уравнения, задающие соответствующие функции.
3. Вычислите площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.
4. Выпишите ответ.
Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла
Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы, разберите решение примера 1:
Пример 1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение:
1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 1). Линия, задаваемая уравнением — прямая. Построим ее по двум точкам.
Линия, задаваемая уравнением — парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции 
на 1 единицу вверх.
Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций (заштрихована на рис. 1).
2. Согласно таблице «Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла» рассматриваемая фигура соответствует 6 типу (ограничена графиками двух функций). Её площадь можно вычислить по формуле:
, где 
— функция, ограничивающая фигуру «сверху» 
,
a 
— функция, ограничивающая фигуру «снизу» 
.
Границы интегрирования 
и 
в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение 
, мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е. и .
. Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета: 
или 
. Следовательно, 
.
Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: 
.
3. Вычислим значение площади: 
Ответ: 
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
