Контрольные работы по теории вероятности

Предметом изучения теории вероятностей являются случайные события и их вероятности. Под случайным событием подразумевается набор исходов некоторого эксперимента.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теория вероятностей

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Контрольные работы на тему: Элементы комбинаторики

Правило произведения. Если элемент строки можно выбрать способами и после каждого такого выбора элемент можно выбрать способами, и после выбора и элемент можно выбрать способами и т. д, наконец, независимо от выбора всех предыдущих элементов можно выбрать способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки равно;

Контрольная работа №1

Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо — 4, а третье блюдо — 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Решение:

При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика) и учтем, что Строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать пятью различными способами, второе — четырьмя различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать 5-4 различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:

Правило суммы. Пусть множество содержит элемент, множество элементов, и множество элементов. И если эти множества попарно не пересекаются (нет одинаковых элементов), то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

Перестановки. Пусть — произвольное (неупорядоченное) -элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов и называются перестановками из элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом и находится по формуле:

Контрольная работа №2

Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за Столом, Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами {изменился порядок)?

Решение:

При решении данной задачи, учитывая, что за столом всегда сидят все 5 гостей, применим правило перестановки.

Размещения* Различные упорядоченные -элементные подмножества данного неупорядоченного множества называются размещениями из элементов по . Число таких размещений обозначается и вычисляется по формуле:

Контрольная работа №3

Десять участников финала разыгрываю! одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение:

Согласно условию данной задачи награды получат только три финалиста из десяти» а ценность медалей различна, т. с. порядок призеров имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило размещений:

Сочетания, Различные неупорядоченные -элементные подмножества множества называются сочетаниями из элементов по . Число всех таких сочетаний обозначается символом и определяется по формуле:

Можно доказать справедливость следующих формул:

Контрольная работа №4

В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов, Три спортсмена» показавшие лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

Решение:

По условию задачи в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значения. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило сочетаний:

Примечания,

Размещения из элементов по представляют собой такие -элементные выборки из неупорядоченного множества которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из элементов по представляет собой -элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной , составленная из элементов множества причем элементы в строке могут повторяться, называется размещением с повторением из элементов по .

Число всех размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

Контрольная работа №5

Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

Решение:

Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10-элементного массива цифр, т. е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4, Следовательно, общее число таких элементов равно Исключим из выборки номер 00-00, если он недопустим. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется числом способов. Т. к. номер каждой машины есть упорядоченная «пара», состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно;

Сочетания с повторениями. Рассмотрим сочетания из элементов но и предположим, что в комбинации возможны повторения. В этом случае выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из элементов, но и еще до раза одного из этих элементов. В этом случае общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до элементов. Следовательно, число сочетаний из элементов по с повторениями определяется по формуле

Контрольная работа №6

В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?

Решение:

Очевидно, что цветы одного наименования могут повторяться в букете, и так как порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:

Перестановки с повторениями. Рассмотрим перестановки, содержащие одинаковые элементы. Например, в перестановках из элементов имеются различных элементов . При этом первый элемент встречается раз. Это означает, что общее число перестановок должно быть уменьшено в ! раз, гак как взаимные перестановки одного и того же элемента равнозначны.

Аналогично происходит и с остальными элементами, которые могут встречаться раз, причем . Поэтому общее число перестановок с повторениями подсчитывается по формуле

Контрольная работа №7

Имеется шестизначная кодовая комбинация, состоящая из трех цифр 1, 3, 5, в которой цифра I встречается один раз, цифра 3 два раза и цифра 5 — три раза. Сколько существует комбинаций таких наборов?

Решение:

В данном случае имеют место перестановки с повторениями, Их число будет равно

Контрольные работы на тему: Пространство элементарных событий. Случайные события

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

— появился герб при бросании монеты;

— появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

— попадание в цель при выстреле;

— появление туза при извлечении карты из колоды и т. д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Причем для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события — достоверное событие — , которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие — , которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события из введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие не произошло.

Событие , заключающееся в том, что из двух событий

и происходит по крайней мере одно (либо , либо , либо и вместе), называется суммой (или объединением) событий и В.

Событие , заключающееся в том, что события и происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий и .

Событие называется разностью событий и ; оно заключается в том, что происходит и не происходит .

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

• — коммутативность сложения;
• — ассоциативность сложения;
• — коммутативность умножения;
• — ассоциативность умножения;
• — законы дистрибутивности.

Предположим* что среди всех возможных событий , которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

• во-первых, все они взаимоисключают друг друга, г. е. являются непересекающимися;
• во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
• в-третьих, каково бы ни было событие , по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой а их совокупность называется пространством элементарных событии.

Достоверное событие , наступающее в результате любого из элементарных исходов , при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: .

Невозможное событие , не наступающее ни при каком элементарном исходе совпадает с пустым множеством и обозначается .

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиям и:

Два события и несовместимы (или несовместны), если (т. е. событие невозможно).

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и т. е. из этих событий происходит одно и только одно.

Контрольная работа №8

Победитель соревнования награждается: призом (событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ), Что представляют собой события:

Решение:

а) событие состоит в том, что победитель награжден призом или премией, или призом и премией одновременно;

б) событие состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно;

в) событие состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера- Венна.

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

Контрольная работа №9

Описать пространство элементарных событий следующего опыта — брошены две игральные кости.

Решение:

Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел где — число очков на первой кости, — число очков на второй кости. Известно, что , причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

Контрольные работы на тему: Статистическое определение вероятности

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходам. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один..

Если событие может привести к различным равновозможным исходам и если в случаях появится признак , то относительная частота (частость) события обозначается и равна отношению к :

Это так называемое статистическое (комбинаторное) определение вероятности. Событие , для которого относительная частота при достаточно больших мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события называется число , около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

Вероятности обладают свойствами, аналогичными свойствам частости:

• Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

• Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

• Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

При подбрасывании идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна = 0,5. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Контрольная работа №10

Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько в среднем надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

Решение:

Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная частота) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что . Отсюда . В нашем случае , тогда .

Контрольные работы на тему: Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: . Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в следующих экспериментах:

Бросание люнеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков:

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до ).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, бросание шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, всс эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события может быть вычислена по следующей формуле;

где — общее число равно возможных и взаимно исключающих друг друга исходов, — число тех из них, которые приводят к наступлению события .

Контрольная работа №11

Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение:

Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

Окончательно получим

Контрольная работа №12

Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая даму. При объявлении ранга игры участнику приходится учитывать возможность образования у одного из вистующих — противников — комбинации из трех оставшихся червей. Какова вероятность этого события?

Решение:

У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равно

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Таким образом,

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих очевидно в 2 раза больше.

Контрольная работа №13

В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

Решение:

Введем следующие обозначения: — общее число машинок, — число бездефектных машинок, — число отобранных в партию (подмножество) машинок, — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из элементов по , т. е. .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по т.е. Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика — правило произведения) . Согласно (1.12), окончательно получим:

Подставим в формулу (1.13) численные значения и окончательно получим:

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Контрольные работы на тему: Аксиоматическое построение теории вероятностей и геометрическое определение вероятности

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий. Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий . На Этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию из поля событий поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью, такое, что

Аксиома 2, Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания.

Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть — пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда и не имеет общих элементов с . Следовательно:

Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

Контрольная работа №14

Предположим, что на отрезок длиной действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим . Какова вероятность того, что она отклонится не дальше чем на расстояние от сере-дины указанного отрезка (см. рис.)?

Решение:

Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной . Кроме того, условия опыта таковы, что с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие : точка находится от середины отрезка на расстоянии не больше , наступает в результате попадания в любую точку , отстающую от середины не далее, чем на величину . «Доля» таких точек на всем отрезке может быть определена как отношение , где — длина всего рассматриваемого отрезка. длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события . Таким образом, искомая вероятность равна:

Контрольная работа №15

Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1J больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис,). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная, расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой (см, рис,).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата;

Контрольная работа №16

Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

Решение:

Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2J пары чисел и . Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим э квивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют , элементарных исходов, а событию исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно,

где и — соответственно вероятности событий и .

Следствие 1. Если события образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Это следствие очевидно, если вспомнить, что события составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма — событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1.

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу и .

Примеры противоположных событий:

— попадание при выстреле; — промах при выстреле.

— при бросании кубика выпала шестерка; — при бросании кубика шестерка не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Контрольная работа №17

Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:

Решение:

Так как выделение одновременно двух машин — невозможное событие, то по формуле (2.1) вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

Контрольная работа №18

В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты — невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение:

Обозначим события: — выигрыш не менее 20 рублей, — выигрыш 20 рублей, — выигрыш 100 рублей, — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события попарно несовместны, причем справедливо выражение:

По теореме сложения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей совместных событий

Как было указано выше, теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда два события и совместны. справедлива следующая теорема.

Теорема, Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий {2.1) имеем:

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: . Вновь применяя терему (2.1), получим , откуда

Аналогично для события :

откуда

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим выражение (2.4), теорема доказана.

Как несложно заметить, формула (2.1) является частным случаем выражения (2.4), Действительно, если события несовместны, то их произведение — пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Аналогично выражению (2.4) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

Справедливость формул (2.4) и (2.8) наглядно иллюстрируется рисунками:

Из выражения (2.4) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Действительно:

Контрольная работа №19

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение:

Обозначим события: — появление шестерки на первой кости, — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т. е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (2.4). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т. е, вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а число всех равновозможных комбинаций вычислим по правилу произведения (комбинаторика);

b) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие — понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Контрольная работа №20

Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события:

— появления герба на первой монете; — появление герба на второй монете.

Решение:

Очевидно, событие не зависит от того, произошло событие или нет. Событие независимо от события .

Контрольная работа №21

В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события:

— появление белого шара у первого человека,

— появление белого шара у второго человека.

Решение:

Вероятность события равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие зависит от события .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается:

Для ПРИМЕРА 5:

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

верно, то события и называются независимыми.

Если верно выражение

то события и называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится белых и черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны, Если реализуется схема без возвращения, то события — зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события — независимые.

Контрольные работы на тему: Теорема умножения вероятностей

Теорема, Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет условная вероятность события относительно события равна .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, то есть к исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим

Аналогично можно показать, что

Следствие I. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Согласно условию, событие не зависит от события . тогда с учетом (2.10) получим . Подставим это уравнение в формулу (2.12):

Разделив левую и правую часть уравнения на , получим

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

Контрольная работа №22

Прибор, работающий в течение времени , состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время вероятность безотказной работы узлов соответственно равна:

Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время ?

Решение:

Обозначим события:

— безотказная работа прибора;

— безотказная работа первого узла;

— безотказная работа второго узла;

— безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обсепечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов:

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Контрольная работа №23

Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, ссли он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

Решение:

Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие — «в первый раз вынут «неудачный» билет», — во второй раз вынут «удачный» билет». Очевидно, что события и зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события . По формуле умножения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: образующих полную группу несовместных событий, то есть

Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема, Вероятность события равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события :

Доказательство, Вспомним операции над событиями

Так как

то есть события и также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий

По теореме произведения вероятностей

откуда и следует формула (2.13). Теорема доказана.

Контрольная работа №24

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся два белых и один черный шар. Во второй урне — три белых и один черный, а в третьей урне — два белых и два черных. Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны извлечет белый шар?

Решение:

Рассмотрим 3 гипотезы:

— выбор первой урны;

— выбор второй урны;

— выбор третьей урны.

Событие — вынут белый шар. Из условия задачи следует, что гипотезы равновозможны:

Если случайно подойти к первой урне, то вероятность извлечь из нее белый [пар равна 2/3. Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события при этих гипотезах соответственно:

По формуле полной вероятности (2.13) окончательно получим:

Контрольная работа №25

Представим себе странника, идущего из некоторого пункта и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта попадет в пункт ?

Решение:

Как видно из рисунка, странник обязательно должен пройти через один из пунктов . Обозначим гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта в пункт . Очевидно, что события образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, так как по условию задачи странник наугад выбирает один из путей или . Тогда . Из пункта в можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь при условии равна 1/3, Аналогично рассуждая, получим:

Теперь по формуле полной вероятности:

Контрольные работы на тему: Теорема гипотез (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие .

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез а связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (2J2) имеем:

Отсюда

Разделим на левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим:

Выражая с помощью формулы полной вероятности (2*13), получим формулу Байеса:

Контрольная работа №26

Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества, 40 % приборов собирается из высококачественных деталей, и их надежность за время равна 95 %. Приборы из обычных деталей за время имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

Решение:

Возможны 2 гипотезы:

— прибор собран из высококачественных деталей;

— прибор собран из обычных деталей.

Вероятности этих гипотез до опыта соответственно равны:

В результате опыта наблюдалось событие прибор безотказно работал время . Условные вероятности этого события при гипотезах и соответственно равны;

По формуле Байеса найдем условную вероятность гипотезы :

Контрольная работа №27

В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности. Ь) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

Решение:

a) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

— в урне 3 белых и 0 черных шара;

— в урне 2 белых и 1 черный шар;

— в урне 1 белый и 2 черных шара;

— в урне 0 белых и 3 черных шара.

b) Так как извлечен белый шар — событие , то условные вероятности этого события соответственно равны:

По формуле Байсса вычислим;

Контрольная работа №29

Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным, Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

Решение:

Пусть — гипотезы, соответствующие выбору отчета первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события: — выбран правильно оформленный отчет

По формуле Байеса вычислим искомую вероятность:

Формула Байеса (2.15) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.

Контрольные работы на тему: Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытании; то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я, Бернулли рассматривается серия, состоящая из независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события (успех) или его ненаступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна — постоянна и не зависит от номера испытания. Следовательно, вероятность неуспеха тоже постоянна.

Сформулируем задачу — вычислить вероятность того, что при испытаниях событие осуществится ровно раз и, следовательно, не осуществится раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

Однако интересующее нас событие ( успехов при опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки элементов из вычисляется по формуле (1.5):

Окончательно получим:

Это и сеть формула Бернулли (биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (3.2), следует:

Очевидно этот же результат получится, сели учтем, что для

получим полную группу событий, вероятность которых равна 1.

Контрольная работа №30

В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, 10 мальчиков.

Решение:

Отметим, что в силу предположения

и равенства

имеют место равенства;

Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью — 0,25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) — чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть

означает вероятность того, что в испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем раз и не более чем раз . Так как события, соответствующие различному числу успехов, попарно несовместны, то имеет место формула:

Вероятность того, что в результате испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

Типичный график биномиального распределения приведенна рис. 3.1 для

Сформулируем задачу: необходимо найти — наивероятнейшее число успехов, то есть такое , вероятность которого максимальма.

Запишем условия максимума вероятности:

Запишем неравенства а) и b) в явном виде:

Учитывая оба неравенства, окончательно получим;

В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха наиболее вероятным числом успехов является

единственное число , если число нецелое;

два числа , если число целое.

При достаточно большом числе испытаний из выражения (3.7) получим (статистическое определение вероятности).

При больших значениях наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает с вероятностью успеха при одном испытании.

Контрольная работа №31

Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение:

Вероятность нормального расхода , Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Контрольные работы на тему: Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, каждое из которых имеет попарно несовместных и возможных исходов, которые обозначим . События составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события в общем случае различны и удовлетворяют условию . Тогда для произвольно Заданных целых неотрицательных чисел таких, что , определим вероятность

того, что при испытаниях исход , наступит ровно раз, исход раз и т. д., исход произойдет раз:

Выражение (3.8) называется формулой полиномиального распре-деления,

Контрольная работа №32

Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события — выпало ровно десять шестерок и три единицы?

Решение:

Вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1 /6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6. Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других значения чисел равна:

Контрольные работы на тему: Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний , При больших значениях пользоваться этой формулой затруднительно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть

так что

Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине :

При решении конкретных задач понятия «число испытаний велико» и «вероятность успеха мала» субъективны. При более строгом подходе воспользуемся оценкой погрешности формулы Пуассона:

Контрольная работа №33

На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

Решение:

Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (3.10) вычислим погрешность, которая не превышает 0,001, таким образом, искомая вероятность не превысит 0,008567,

Контрольные работы на тему: Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли

при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то вероятность того, что событие произойдет раз а независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

Данная формула (теорема) тем точнее, чем . Вычисление по Этой формуле дает незначительную погрешность уже при выполнении условия . Функция табулирована и обладает следующими свойствами:

1) функция является четной, то есть

2) функция — монотонно убывающая при положительных значениях причем при ;

3) при .

Контрольная работа №34

В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

Решение:

Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна

Так как

достаточно велико (условие

выполнено), то применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Замечание. Значение функции получаю из соответствующих статистических таблиц,

Контрольные работы на тему: Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях ПРИМЕРА 5 необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий, и учитывая (3.5), получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то вероятность того, что число наступления события в независимых испытаниях заключено в пределах от до (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

обладающая следующими свойствами:

1} функция нечетная, то есть ;

2) функция — монотонно возрастающая, причем при (практически можно считать, что уже при ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

Интегральная формула, как и локальная, тем точнее, чем больше . При условии интегральная формула (3.15) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей,

Контрольная работа №35

По данным ПРИМЕРА 5 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().

Контрольные работы на тему: Классификация случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной называют функцию от элементарных исходов : где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов , принимают конечное или счетное число различных значений с соответствующими вероятностями:

Здесь обозначает, что случайная величина принимает значение , то есть

Вероятность события , состоящего в том» что случайная величина принимает одно из значений лежащее в пределах , есть

В формуле (4.2) суммирование производится по конечному или счетному числу значений , которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значении называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ. События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), то есть составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому отображению (рис. 4.1). Такое представление СВ называется многоугольником распределении.

Контрольная работа №36

Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение:

СВ X — число неизрасходованных патронов, которое имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Стрелок израсходует весь боезапас, если первые три выстрела — «промахи», а результат четвертого никак не скажется на оставшемся боезапасе. Останется один патрон, если стрелок дважды промахнется и попадет при третьем выстреле. Если спортсмен сначала промахнется, а затем попадет в мишень, у него останется два патрона, и, наконец, останется три патрона, если будет попадание при первом выстреле. Вероятности этих значений равны со ответственно:

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (так как СВ имеет бесчисленное множество знамений), Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ, невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует «распределение вероятностей»? хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Контрольные работы на тему: Интегральная функция распределения

Для количественного описания распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины и обозначается :

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Функция распределения — самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ, Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

Функция распределения неубывающая функция своего аргумента, то есть при

На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно:

Контрольная работа №37

Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие Вероятность события равна . СВ — число появлений события в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ,

Решение:

Ряд распределения СВ имеет вид:

Построим функцию распределения СВ

Контрольная работа №35

При тех же условиях (ПРИМЕР 2) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

Решение:

Пусть СВ — число появлений события в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

Построим функцию распределения СВ :

Контрольные работы на тему: Непрерывная случайная величина, плотность распределения

Случайная величина называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

Для непрерывной случайной величины вероятность попасть на интервал равна

Пусть имеется непрерывная СВ с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой.

Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от до , то есть приращение функции распределения на этом участке:

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим к 0. В пределе получим производную функции распределения:

Функция — производная функции распределения, характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе -«плотностью вероятности») непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, так как существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке .

Вероятность попадания СВ на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна .

Геометрически — это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 4.2).

Выразим вероятность попадания СВ на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, то есть интегралу:

Геометрически вероятность попадания величины на отрезок равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис. 4.3).

Формула (4.7) выражает плотность распределения СВ через интегральную функцию распределения. Поставим обратную задачу — выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

Из формулы (4.9) с учетом (4.8) получим:

Геометрически есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (рис. 4.4).

Контрольные работы на тему: Основные свойства плотности распределения

Плотность распределения является неотрицательной функцией

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения — неубывающая.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

Геометрически основные свойства плотности распределения означают:

♦ кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

• площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров.

Контрольная работа №36

Функция распределения непрерывной СВ равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения , и, наконец, вероятность

Решение:

а) Так как — функция непрерывная,то при

то есть

Контрольная работа №37

СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент а, Ь) построить график плотности распределения , с) найти и построить график, tl) найти вероятность попадания СВ на участок .

Решение:

с) получим выражение для функции распределения (4.10):

Контрольные работы на тему: Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 4,5).

Медианой случайной величины называется такое ее значение, при котором вероятность того, что , одинаково вероятна тому, что , и будет равна 0,5.

Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам {функция распределения равна 0,5, рис. 4.6).

Квантилью уровня (или -квантилью) называется такое значение случайной величины. при котором функция ее распределения принимает значение, равное то есть

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, то есть

Квантили и получили название нижней и верхней квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки, Под точкой подразумевается квантиль , то есть такое значение случайной величины при котором

Контрольная работа №38

Найти моду, медиану, квантиль и 30%-ю точку с плотностью вероятности при .

Решение:

Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако эта функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (4.14):

Отсюда . По формуле (4.10) получим функцию распределения

Учитывая (4.15), найдем квантиль , откуда . 30%-ю точку случайной величины или квантиль найдем из уравнения , откуда .

Контрольные работы на тему: Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом и определяемая равенством:

Контрольная работа №39

Известны законы распределения СВ и — числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Решение:

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (4.16) вычислим :

Так как среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку: они равносильны.

Контрольная работа №40

Непрерывная СВ равномерно распределена на отрезке , Определим .

Решение:

Прежде всего определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство (4.12):

Контрольные работы на тему: Свойства математического ожидания

• Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

• Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

• Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

• Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ равно а, тогда:

Математическое ожидание — одна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и за меняющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах;

Контрольная работа №41

Найти математическое ожидание случайной величины

если известно, что

Решение:

Используя свойства математического ожидания (4,17), (4.18) и (4.19), найдем

Контрольные работы на тему: Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, момент инерции и т. п.).

Начальный момент -го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (4.22) можно представить в следующем виде:

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами. Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равно нулю:

Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени; соответствующей центрированной СВ:

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю. Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину, равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением, или стандартом) случайной величины называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Контрольные работы на тему: Свойства дисперсии

• Дисперсия константы равна нулю:

• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

• Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:

Учтем, что и — независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (4.20) и (4.25), то есть:

С учетом (4.33) выражение (4.32) примет окончательный вид;

Вычислим дисперсию разности СВ:

Таким образом, мы доказали следующее свойство: дисперсия разности равна сумме дисперсий,

• Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

• Дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию . Покажем это:

Контрольные работы на тему: Асимметрия и эксцесс

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения, Так как третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то, чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ :

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

На рис. 4.7 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

Число 3 в выражении (4.39) вычитается из отношения потому что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3, Таким образом, распределения более островершинные, чем нормальное, имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное, — отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (рис. 4.8).

Контрольная работа №42

Для равномерно распределенной СВ (см. ПРИМЕР 8) необходимо вычислить .

Решение:

a) вспомним, что ;

b) дисперсию вычислим по формуле (4.36):

Контрольные работы на тему: Многомерные случайные величины

Многомерная случайная величина и закон ее распределения

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин которую называют также многомерной (-мерной) случайной величиной, или случайным вектором .

Случайные величины входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

• физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: — рост, — вес, — возраст и т. п.;

• успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной где — оценка по -му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости или в трехмерном пространстве , Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим; как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки (рис. 5.1).

Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются — ЭТО значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле;

Здесь (5.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям ДЛЯ которых , и по всем , ДЛЯ которых .

Свойства двумерной функции распределений

• Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, то есть

Это утверждение базируется на том, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

• Функция распределения есть неубывающая функция, по каждому из аргументов:

Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис. 5.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, но крайней мере, уменьшиться не может.

3 Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения равна нулю:

Функция распределения в данных случаях равна нулю, так как события и их произведение представляют невозможные события.

• Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

где

Очевидность данного свойства (5.6)) вытекает из того, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

5, Если оба аргумента равны , то функция распределения равна единице:

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (рис. 5.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной минус вероятность попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (так как эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения — непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументовt и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (5.9) получим:

Учитывая то, что функция непрерывная и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (5.10) примет вид:

Плотностью вероятности (плотностью распределения, или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения:

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

• Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, то есть

Это свойство вытекает из того, что — функция неубывающая по каждому аргументу.

• Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие «элемент вероятности», равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область а аналитически — двойным интегралом (5.14).

• Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле.

Функция распределения есть вероятность попадания в бесконечный квадрант который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице:

Несобственный интеграл (5.16) есть вероятность попадания во всю плоскость а вероятность достоверного события равна I.

Зная плотность вероятности двумерной СВ , можно найти

функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (5.6) и (5.15), получим:

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ;

т. е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной платности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу — плотность вероятности

Контрольная работа №43

Задано распределение вероятное гей дискретной двумерной случайной величины:

Требуется: а) найти законы распределения составляющих и ; Ь) составить функцию распределения.

Решение:

а) сложив вероятности «по столбцам», найдем закон распределения составляющей :

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем закон распределения составляющей .

Ь) составим функцию распределения:

Контрольная работа №44

Иглу длиной бросают на плоскость, па которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

Решение:

Введем систему случайных величин где — расстояние от середины иглы до ближайшей линии, а — острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что расстояние распределено равномерно в интервале , а угол распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и — независимые, получим при . Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность:

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю (рис. 5.3).

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу у полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

В этом случае говорят, что случайные величины и — статистически независимы.

При независимости случайных величин и плотность распределения двумерной СВ (5,19) равна произведению плотностей соответствующих одномерных СВ, а интегральная функция распределения двумерной СВ равна произведению одномерных функций:

Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ, для двумерной случайной величины введем выражения для начального и центрального моментов:

Если говорим о моменте -го порядки двумерной СВ, то это значит, что суммируются индексы: .

Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: . Рассмотрим подробнее:

Как видим, для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий (смешанный центральный момент второго порядка):

Для дискретной СВ:

Для непрерывной СВ:

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство. Докажем эту теорему для непрерывных СВ. Пусть и — независимые случайные величины, тогда согласно (5.22)

Подставим это в выражение (5.27)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величии, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий:

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, так как функция нормирована на меру разброса .

Контрольная работа №45

Имеются линейно зависимые случайные величины и : . Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Пусть для заданной СВ известно, что ,. Тогда, учитывая свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим математическое ожидание и дисперсию СВ :

Контрольные работы на тему: Свойства коэффициента корреляции

• Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1, 1J:

• Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Справедливость этого свойства очевидна, если учесть выражение (5.28), так как в этом случае .
• Равенство нулю коэффициента корреляции — необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величии.

Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Контрольная работа №46

Имеются две СВ:

Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение:

Вычислим ковариадию:

На практике для -мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т, п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий дисперсий и корреляционных моментов ,характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все порреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величии.

Замечание. Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (5.26) и (5.27)).

Контрольная работа №47

Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и — зависимые и некоррелированные СВ.

Решение:

Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Так как

то и — зависимые величины. Найдем ковариацию:

Так как — функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом, СВ и — зависимые и некоррелируемые.

Контрольные работы на тему: Основные законы распределения

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничениях), приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется. По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т, п.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси и имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной, или гауссовой кривой (рис. 6.1). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке , причем сам максимум равен Выясним смысл параметров и , входящих в выражение (6.1).

Для этого вычислим сначала математическое ожидание СВ , распределенной по нормальному закону:

Произведем замену переменных, определив

тогда

Подставив в (6,2), получим;

В выражении (6,3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах;

второй интеграл — это интеграл Пуассона-Эйлера, который равен Тогда окончательно получим:

Итак, параметр в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ .

Вычислим теперь дисперсию СВ :

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (6.5) равно нулю, так как стремится к нулю при быстрее, чем возрастает любая степень . А второе слагаемое -это интеграл Пуассона-Эйлера,

Следовательно, параметр в формуле (6.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ .

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ распределенной по нормальному закону. По определению:

Здесь, как и в предыдущих интегралах, применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

При интегрировании по частям отметим, что первое слагаемое равно нулю, так как стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень . Теперь запишем центральный момент порядка:

Сравнивая правые части выражений (6.6) и (6.7), окончательно получим:

Рекуррентное соотношение (6.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Известно, что Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично:

Коэффициент эксцесса нормального распределения. согласно (6,8), равен:

Нормальный закон распределения СВ с параметрами обозначается и называется стандартным, или нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной, или нормированной.

Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал СВ подчиненной нормальному закону распределения с параметрами и .

Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

где — интегральная функция распределения СВ . Найдем :

Сделаем замену переменных в (6,12)

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями и приводится к стандартному нормальному закону с параметрами

Интеграл (6.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от или (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

Выберем в качестве такой функции так называемую нормальную функцию распределения . Выразим функцию распределения (6.13) через :

Подставим теперь (6.15) в {6.11) и окончательно получим:

Свойства нормальной функции распределения

• Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (рис. 6.2):

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длиной . Вычислим эту вероятность:

Часто расстояние выражают в единицах . На рис. 6.3 для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на .

Контрольная работа №48

Полагаем, что рост студентов — нормально распределенная случайная величина с параметрами

Необходимо найти;

a) выражение плотности вероятности и функции распределения СВ ;

b) доли костюмов 4-го роста (176-182 см) и 3-го роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;

c) квантиль и 10%-ю точку СВ ;

d) сформулировать «правило трех сигм» для СВ .

Решение:

а) по формулам (6.1), (6.12) и (6Л 5) запишем

Ь) долю костюмов 4-го роста (176-182 см) в общем объеме производства определим по формуле (6.16):

Долю костюмов 3-го роста (170-176 см) можно определить аналогичным образом, но если учесть, что данный интервал симметричен относительно , то по формуле (6.17) оценим:

с) Квантиль СВ найдем из уравнения (6.15):

Это значит, что 70 % студентов имеют рост до 176 см. 10%-я точка СВ — это квантиль который, вычислив аналогично, получим .

d) «Правило трех сигм» для нормального распределения:

Тогда с вероятностью, равной 0,9974, рост студентов находится в интервале:

Контрольная работа №49

Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 до 2300 руб. I Гаити с надежностью 0,9 интервал изменения цепы бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

Решение:

Значит, стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835,5; 2164,5) рублей.

Распределение Х² («хи-квадрат»)

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

где — независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами . Число называется числом степеней свободы распределения . Соответствующая плотность (рис. 6*4) описывается формулой:

Распределение представляет собой частный случай так называемого гамма-распределения.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового обслуживания случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экс-поненциальнмй) закон распределения с параметром если ее плотность вероятности имеет вид:

Здесь — постоянная положительная величина. Таким образом, показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения;

На рис. 6.5 и 6.6 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

Так как

то остается вычислить :

Подставив (6.25) в (6.24), окончательно получим:

Для случайной величины, распределенной но показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратаческому отклонению.

Контрольная работа №50

Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

Решение:

a) Плотность распределения имеет вид:

b) Соответствующая интегральная функция равна:

Контрольная работа №51

Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону.

Решение:

Найдем решение, вспомнив, что . Теперь, с учетом {6.22), получим:

Контрольные работы на тему: Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того, простое оно или сложное. Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ, Обозначим через непрерывную СВ — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее, чем то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события:

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (6.28), функция надежности будет равна:

Контрольная работа №52

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( — время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение:

В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (6.30):

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство,, введя следующие обозначения:

-безотказная работа элемента на интервале длительностью .

-безотказная работа элемента на интервале длительностью .

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (6,30), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

Мы видим, что полученная формула не зависит от а только от . Сравнивая выражения (6.31) и (6.32), можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Контрольные работы на тему: Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня .

В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной величины

Соответственно для дисперсии получим выражение

Контрольная работа №53

Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето ( — заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Учитывая (6.34), получим

Используя выражения (6.35) и (6.36), вычислим:

Контрольные работы на тему: Закон больших чисел

Свойство устойчивости массовых случайных явлении известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание закона больших чисел, понимаемого в широком смысле слова; при очень большом числе случайных явлении средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при соблюдении определенных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ)

Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число вероятность того, что СВ отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на ограничена сверху величиной :

Доказательство. Рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

Вспомним определение дисперсии СВ :

Проиллюстрируем выражение (7.3) рисунком:

В выражении (7.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка . Если в (7.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины вероятность того, что она отклонится на от , меньше, чем дисперсия, деленная на .

Контрольная работа №54

Дана СВ . Оценим сверху вероятность того, что отклонится от не меньше, чем на .

Решение:

Согласно неравенству Чебышева запишем

Известно, что для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

Теорема Чебышева

Пусть имеется СВ

Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины . Необходимо найти характеристики среднего арифметического — математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте — , в -м опыте — .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

СВ — линейная функция независимых случайных величин . Определим:

Таким образом, не зависит от числа опытов () а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, то есть СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится но вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят, что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

где и — произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

Доказательство. Ранее было показано, что для

Применим к СВ неравенство Чебышева;

Как бы ни было мало всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство:

где — сколь угодно малое число.

Тогда получим:

Запишем вероятность события противоположного (7.11)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть — независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями:

Если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом , таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Доказательство. Рассмотрим

с соответствующими характеристиками:

Применим к СВ неравенство Чебышева

Как бы ни было мало можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

Перейдем к противоположному событию:

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим величину

Применим к величине неравенство Чебышева:

Так как по условию теоремы при

то при достаточно большом справедливо

или переходя к противоположному событию:

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

где и — сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (7.18) при достаточно большом .

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины: — число появления события в первом опыте;

— число появления события во втором опыте;

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распре деления, выраженный рядом распределения:

Здесь

Нетрудно показать, что

Частота не что иное, как среднее арифметическое величин

то есть

Тогда, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел устанавливает факт приближения средних большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности* возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова,

Теорема Ляпунова, Если

независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия абсолютный центральный момент третьего порядка

то закон распределения суммы

при неограниченно приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией .

Теорему примем без доказательства.

Смысл условия (7.19) состоит в том, чтобы в сумме

не было слагаемых, влияние которых на рассеяние подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых;

Следствие. Если — независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидай и я , дисперсии и абсолютные центральные моменты третьего порядка

то закон распределения суммы

при неограниченно приближается к нормальному закону.

Замечание. Опираясь на центральную предельную теорему, можно утверждать, что рассмотренные нами ранее случайные величины, имеющие законы распределения (биномиальный, Пуассона, равномерный, («хи-квадрат»), (Стьюдента)), при распределены асимптотически нормально,

Контрольная работа №55

Определить вероятность того, что средняя продолжительность 100 производственных операций окажется в пределах от 46 до 49 с, если математическое ожидание одной операции равно 47,4 с, а среднее квадратичное отклонение-4,9 с.

Решение:

В этой задаче — продолжительность наугад взятой производственной операции,

Здесь — средняя продолжительность 100 наугад взятых производственных операций, причем

Теперь вычислим соответствующую вероятность

При решении задачи на основании следствия из теоремы Ляпунова распределение центрированного и нормированного среднего приближенно заменено на распределение стандартной нормальной случайной величины .

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Предмет теория вероятностей и математическая статистика
• Решение задач по теории вероятностей
• Помощь по теории вероятности
• Заказать работу по теории вероятности
• Курсовая работа по теории вероятности
• Решение задач по математической статистике
• Помощь по математической статистике
• Заказать работу по математической статистике
• Контрольная работа по математической статистике
• Курсовая работа по математической статистике
• Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов