Кривые, заданные параметрически

Достаточно часто кривые задаются в параметрическом виде: . Например: . Функции называются координатными функциями.

Для того чтобы изобразить такую кривую, рекомендуется следующая программа:

Шаг 1. Проводим исследование координатных функций и строим их графики.

Шаг 2. Рассматриваем критические точки координатных функций, то есть такие точки кривой, в которых производная одной из координатных функций равна нулю. В нашем примере и, следовательно, таких точек две: .

Особыми точками будем называть точки, в которых обе производные обращаются в нуль или не существуют. Остальные точки называются регулярными.

В нашем примере особой является точка, соответствующая . В особой точке касательная к кривой не всегда определена. В регулярной точке касательная определяется следующим образом: считаем тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (аналог производной ) по формуле

и тем самым определяем тангенс угла наклона касательной к графику в не особых точках. Если , а , то касательная к кривой будет вертикальной.

Шаг 3. Отмечаем на прямой критические точки координатных функций (а также точки разрыва производной каждой из координатных функций).

Шаг 4. Фиксируем на плоскости все отмеченные точки и соединяем их между собой отрезками вместе с указанием на направление изменения параметра . Получим схему кривой. Для того чтобы понять направление кривой при приближении к границе области задания (в частности, при ), нужно найти пределы

или подсчитать значения в одной из точек, близкой к границе.

Шаг 5. Считаем производную по формуле

в точках, где , и тем самым определяем тангенс угла наклона касательной к графику в регулярных точках. Подставив несколько контрольных значений, окончательно уточняем график.

Поведение кривых в особых точках.

На представленном ниже рисунке показаны возможные типы поведения кривых вблизи особых точек. Везде в качестве особой точки рассматривается начало координат. Кривые задаются следующими координатными функциями:

Параметрически заданные кривые иногда называют траекториями, интерпретируя параметр как время.

Пример 1.

Траектория точки на окружности, катящейся по прямой без скольжения, называется циклоидой.

Кривые в полярных координатах.

Достаточно распространенным является использование в качестве параметра полярного угла, то есть угла, который отсчитывается от луча до направления на точку против часовой стрелки. Говорят, что кривая задана в полярных координатах, если задан полярный радиус (расстояние от начала координат до точки) как функция полярного угла: . Функция при этом обычно предполагается периодической с периодом . К декартовым координатам можно переходить по формулам

Полярной розой называется кривая на плоскости, уравнение которой в полярных координатах имеет вид , где и — некоторые постоянные. На рисунке ниже изображены три таких кривых, построенных при и различных .

Пример 2.

Показать, что роза, соответствующая , является окружностью радиуса с центром в точке .

Решение. Рассмотрим произвольную точку на кривой, где . Тогда . Утверждение доказано.

Степенной розой называется кривая на плоскости, уравнение которой в полярных координатах имеет вид , причем независимо от угол таков, что .

Лемнискатой относительно фокусов называется множество точек таких, что произведение расстояний от до фокусов постоянно. Лемниската называется центрально-симметричной, если фокусы образуют правильный -угольник с центром в начале координат и само начало координат входит в это множество.

Упр. 1 Покажите, что степенная роза, соответствующая и , изображенная на рисунке справа, является лемнискатой относительно фокусов с координатами , где .

Упр. 2 Покажите, что роза степени 2 также является центрально-симметричной лемнискатой (она называется лемнискатой Бернулли). Постройте ее и найдите ее фокусы.

Параметризация кривых, заданных неявно.

Говорят, что кривая на плоскости задана неявно, или в неявном виде, если координаты ее точек определяются уравнением . Например: — уравнение окружности. В этом случае, предполагая, что кривую на нужном участке можно задать равенством , где — функция, имеющая производную, получим для функции :

откуда определяется производная .

Попытки разрешить уравнение относительно редко приводят к удобному способу изображать кривую. Например, даже в случае окружности мы получаем не слишком хорошую зависимость: при и при .

Другой, более предпочтительный способ изображения кривой состоит в том, чтобы представить ее в параметрическом виде. Переход от неявного задания кривой к параметрическому и называется параметризацией.

Пример 3.

Астроида , допускает параметризацию .

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Курсовая работа на тему: правило Лопиталя и выпуклость

Курсовая работа на тему: графики функций

Курсовая работа на тему: матрицы и операции с ними

Курсовая работа на тему: системы линейных уравнений