Оглавление:
Матричная запись системы линейных уравнений
Система уравнений с
неизвестными
называется линейной, если она имеет вид
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7296.png)
где ,
(
;
) — числа, причем для каждого
имеется хотя бы одно
, отличное от нуля.
Матрица
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7301.png)
называется матрицей системы, а матрица
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7321.png)
которая получается из матрицы приписыванием столбца из свободных членов — расширенной матрицей системы.
Систему (1) можно записать в матричном виде , где
имеет вид (2);
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7342.png)
Систему (1) можно записать также в виде
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7344.png)
Теорема Кронекера-Капелли
Система называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы. В противном случае система называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Теорема. Система из уравнений с
неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы
равен рангу расширенной матрицы
. При этом, если ранг
обеих матриц равен числу неизвестных, т. е.
, то система имеет единственное решение. Если же
, то система имеет бесконечное множество решений.
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с
неизвестными
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7359.png)
Матрица такой системы является квадратной матрицей порядка
. Определитель этой матрицы
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7362.png)
называется определителем системы (4).
Невырожденная система линейных уравнений с
неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7366.png)
где — определитель, полученный из определителя
заменой
-го столбца столбцом из свободных членов системы.
Матричное решение системы линейных уравнений
Запишем систему линейных уравнений (4) в матричном виде . Предположим, что
. В этом случае матрица
имеет обратную матрицу
такую, что
. Умножим обе части уравнения
слева на
. Получим
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7377.png)
Решение системы линейных уравнений имеет вид:
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7381.png)
где и
— матрицы-столбцы;
— матрица, обратная матрице системы.
Метод нахождения решения системы с использованием формулы (6) назовем матричным.
Задача №8.
Выяснить, является ли система
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7404.png)
невырожденной, и если является, то решить ее по формулам Крамера (5).
Решение:
Так как определитель данной системы
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7405.png)
то система является невырожденной.
Для того чтобы воспользоваться формулами Крамера (5), находим:
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7406.png)
Подставляя в (5) значения , имеем:
.
Задача №9.
Решить матричным методом систему
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7407.png)
Решение:
Для данной системы основная матрица
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7408.png)
Обратная матрица
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7410.png)
По формуле (6)
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7415.png)
или
![Матричное решение системы линейных уравнений задачи с решением](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-7417.png)
Отсюда .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Обратная матрица с решением задачи |
Ранг матрицы задачи с решением |
Решение произвольных систем матриц задача с решением |
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) задачи с решением |