Оглавление:
Метод эквивалентной линеаризации (метод Крылова и Боголюбова)
- Н. м. Крылов и Н. Н. Боголюбов на основе своих работ создали множество приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений нелинейных колебаний. Нелинейных дифференциальных уравнений. Х х ПФ х, х, 9 Где f x, X — нелинейная функция x и X, а p-малый параметр. если p 0, то уравнение 9 вырождается в линейное дифференциальное уравнение свободных колебаний X — -k2x G, а форма его решения равна x aB1nf. Где a const, A a, a const, следовательно, X ak cos f. Метод эквивалентной линеаризации основан на предположении, что нелинейность уравнения 9 мала и колебания близки к гармоникам. Таким образом, мы находим x и X в Формуле 9 в следующем виде х Асин, Р А0 коси.
Где a a 0 и to w a 0 — медленно меняющаяся функция времени, a-константа, а a, w, и a подлежат последующим решениям. Вплоть до члена, содержащего малый параметр p, вплоть до первой степени мы можем показать описываемую вибрацию. Ниже эта задача решается методом линеаризации эквивалентности задача 20.6, где проводится сравнительная оценка различных решений. Н. м. Крылов и Н. Н. Боголюбов, введение в нелинейную механику. В 1937 году издательство Академии наук Киевской, Украинской ССР. Н. Н. Боголюбов, Ю. А.
Вычислить главный момент количеств движения относительно оси вращения диска массы М и радиуса г, эксцентрично насаженного на ось вращения и вращающегося с угловой скоростью ш. Людмила Фирмаль
Митропольский, асимптотический метод в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958. Нелинейное дифференциальное уравнение 9, эквивалентное колебаниям, описываемым линейными дифференциальными уравнениями 2ntl w x 0, 12 Куда Второй л lEraco а о cosф cosфйф, 13 0 3 Af sinф, aco cosф sinф ф. 14 заметим, что i и являются функциями a. As известно см. главу VIII в Томе 2 этой книги, 3 4 Линейные дифференциальные уравнения 12 представляют собой свободные колебания в случае сопротивления, пропорционального скорости. Форма этого решения-x az1np, где A Ce r, У -л2Г a. поскольку см. 13 является величиной порядка десятичного числа p, оно описывает его с приемлемой точностью. floso поэтому Ф Вт.
Таким образом, задача интегрирования этого нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка 9 будет заключаться в интегрировании системы дифференциальных уравнений 2-го порядка 16 и 16. В заключение следует отметить, что результаты, полученные в этом методе, эквивалентны результатам, полученным медленно изменяющимся способом до тех пор, пока член, содержащий малый параметр Q 1 см. Раздел 3 перед этим разделом.
Если вы интегрируете дифференциальное уравнение с малой нелинейностью методом эквивалентной линеаризации, вам не нужно создавать линейное уравнение 12. Мы рекомендуем следующий набор задач 1 составить дифференциальное уравнение свободной вибрации и представить его в виде Л х р х, л Где f x, — нелинейная функция x и, а -малый параметр. 2 x asin , jf a стоимость, запись х, Осин, А при cos 3 вычислить определенный интеграл 2р 2л az1pf, ashco5f sozf Ф, Дж грех Ф asosozf s1pg Ф 4 вычислить и по формулам 13 и 14, используя результаты предыдущего paragraph. In в этом случае мы получаем n n a, a , a a a 5 введите значение w в l, а n n ay 6 поступило в абзац.
Заменители формул w a и l c , дифференциальные уравнения 16 и 16. 7 найти интегральное уравнение 16, a g , C1. 8 введите полученное значение a a T, SC в Формулу 16, а затем интегрируйте его, чтобы найти t, Cj, Cs. 9 заменить полученный в абзаце результат. 7 и 8, в уравнении 10 найти интегральные константы Ci и C2, используя начальные условия движения f 0, x Xt, A. 10 введите значения Cx и C, рассчитанные в пунктах a и f. 7 и 8, Определите a a f и Phi. 11 подставляя a t я в первое уравнение 10, находим искомый закон движения x a 1pf. Если все силы скрыты и связь неподвижна, то возникает незатухающее колебание с постоянной амплитудой occurs.
- Сложение, da dt Q используя 16 и 13, второй Sin ф, oscosф cosфйф 0. Это условие наличия стационарной области колебаний. Задание 20.5.Решите задачу 20.2, используя эквивалентный метод линеаризации. Решение. Закон движения физического маятника определялся 2 раза. Задача 20.2-это метод малых параметров, а задача 20.3-метод медленного изменения амплитуды. Если вы ссылаетесь на решение задачи 20.3, заключите номер выражения в квадратные скобки.
Используйте выражения 1 и 2 для решения дифференциальных уравнений Ф А Ф РФ. 1 Куда Эквивалентная линеаризация. Если сравнить уравнение 1, приведенное в обзоре теории, с уравнением 9 найти -решение уравнения 1 и вид его первой производной от f azp1f, f ayuso5f, 4 Где, 0 и ffl wte 0 подлежат последующим решениям. 3 подставляя Формулу 4 в sinф, oscosф а sin3ф. си Вычислить определенный интеграл 2л Дж. Ф. грех Ф, АА со Ф соз ф т ф sin4 Ла. 7 sinф, cosф 5 nф ф. Подынтегральное выражение уравнения 5 с помощью а sin ,aуcosф cosф ф а Джей sin3фcosфф ф 0, 6 получает. Ф sinф, ашcosф sinфйф А3 При вычислении интеграла 6 я подставил sin r и использовал формулу в Интеграле 7 sin4ф у-я-cos2ф — — cos4ф.
Затем вычисляется искомый момент инерции однородного твердого тела путем суммирования моментов инерции всех элементарных объемов. Людмила Фирмаль
Вводя результат 7 в уравнение 14, выполненное в обзоре теории, получаем pa2.Члены, в том числе Эти малые параметры p, вплоть до 1 Учитывая обозначение 2 При введении результатов 6 в Формулу, приведенную в обзоре теории 13 л 0. 9 В настоящее время на основе метода эквивалентной линеаризации нелинейное дифференциальное уравнение 1 может быть заменено на 2 системы.
В обзоре теории приведены дифференциальные уравнения первого порядка 16 и 16.Используйте формулы 8 и 9 для описания этой системы в следующем виде d 0, 10 — — Из Формулы 40 следует, что амплитуда колебаний а постоянна, то есть, а СV 12 В этом случае уравнение I принимает вид Когда вы интегрируете Подставляя значения первого уравнения 4 12 и 13, находим искомые законы движения физического маятника. В-С,. 1-г я с,. Ч Формулы 14 и 10 совпадают. Если мы определим интегральную константу и КТ, то получим результат 12. Если мы сравним эту задачу с решением задачи 20.3, то увидим, что объем вычислений и степень сложности почти одинаковы.
Задача 20.6. Решите задачу 20.4, используя эквивалентный метод линеаризации. Решение. Используйте дифференциальное уравнение 20.4 в вопросе 1 заключите номер уравнения в квадратные скобки в вопросе 20.4. — 2lxL — 1 Сравнение уравнения 1, приведенного в обзоре теории, с уравнением 9 р х, л — 2l1L-лал. 2 Найти решение Формулы 1 x и ее первую производную A х аз НП, ДжейТи а ocosi , 3 Где a a t , 0 и e a a 0 подлежат последующим решениям. Если вы назначаете 3 на 2 — Ир ААТ со ф-л, a8sh потому что Ф грех Ф Аю со ф ф. 4 Легко видеть, что Формула 4 и правая часть 3 являются same. So, мы обходим вычисление конкретного интеграла и используем результаты 6 и 7.
Введение формул b и 6 в формулы 13 и 14, приведенные в обзоре теории, сказал он.-это очень важно, — сказал он. — д. В этом случае, получается, что параметр C является константой. Подставляя значения и из в формулах 7 в формулы 16 и 16, приведенные в теоретическом обзоре, получаем систему 1-секундных, 2-х дифференциальных уравнений. д — П1 4л. а а, 8 Ф л.
Поскольку выражения 8 и 8 идентичны, то воспользуемся интегральным результатом выражения 12, приведенным в выражении 8 Десять Где X задается выражением 10, а Ci-интегральная константа. Если мы интегрируем уравнение 9 Cb U Где Ct-интегральная константа. Подставляя 3 и I в первое выражение 10, искомая вакцина движения получается в следующем виде х грех АФ с,. 12 VCJ— Формулы 12 и 14 совпадают. После определения C и C см. Решение задачи 20 4, я получаю результат 16.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
