Метод «от частного к общему» при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Оглавление:

Метод «от частного к общему»

Среди конкурсных задач иногда встречаются такие (обычно они содержат параметр или несколько неизвестных), для решения которых вначале, исходя из условий задачи, делается вывод, что искомая величина (величины) должна удовлетворять, в частности, некоторому, вообще говоря, более слабому по сравнению с исходными, условию. Затем отбираются все возможные значения искомой величины, удовлетворяющие этому условию. При этом, по-сути, осуществляется переход к следствию. В конце делается обязательная полная проверка исходных условий задачи для всех найденных решений.

Назовём приведённый подход к решению задач «методом от частного к общему», поскольку суть метода состоит в том, что вначале отбираются все решения, удовлетворяющие частному условию, а последующая проверка позволяет отсечь все посторонние решения, и, таким образом, определить (общее) решение задачи. Рассмотрим две наиболее часто встречающиеся разновидности задач, решаемых этим методом.

Пусть, например, требуется найти все значения Метод «от частного к общему и , при которых некоторое условие , зависящее от величин , и , должно выполняться сразу при всех значениях принадлежащих заданному бесконечному множеству Метод «от частного к общему (иногда подобные задачи решаются также методом неопределённых коэффициентов).
Поскольку условие должно выполняться сразу при всех значениях Метод «от частного к общему то можно подставить вместо отдельные частные значения из (их вид и количество выбирают из соображений целесообразности и удобства). Иногда этого бывает достаточно, чтобы, решив полученную систему условий

найти из неё все возможные значения Метод «от частного к общему ,, а затем сделать их проверку. Проверка в данном случае обязательна, поскольку множество бесконечно, и все значения подставить невозможно, а подстановка каждого очередного значения Метод «от частного к общему приво-дит к возникновению ещё одного ограничения на значения и . Таким образом, множество первоначально найденных значений может впоследствии лишь сужаться, и в конечном итоге таких значений Метод «от частного к общему которые бы удовлетворяли условию при всех , может не оказаться вовсе. Иными словами, полученная система условий (1) является набором необходимых, но не достаточных требований к Метод «от частного к общему в исходной задаче (т.е. если удовлетворяют условиям задачи, то они удовлетворяют и системе (1).

Обратное утверждение о том, что если Метод «от частного к общему удовлетворяют системе (1), то они удовлетворяют условиям задачи, вообще говоря, неверно, и именно это подлежит проверке.)

Пример №359.

Найти такие числа и , что при всех справедливо равенство

Решение:

Разложим квадратичные выражения в обеих частях уравнения на линейные множители:

Поскольку, по условию, данное равенство должно выполняться сразу при всех действительных значениях Метод «от частного к общему , то, в частности, оно должно выполняться и при и Подставляя эти значения в равенство, приходим к системе двух линейных уравнений относительно Метод «от частного к общему и :

решая которую, находим Метод «от частного к общему Для проверки подставим найденную пару в равенство (2): -верно при всех . Ответ:

Пример №360.

Найти все пары такие, что равенство выполняется при всех , , удовлетворяющих условию

Решение:

Заметим, например, что пары чисел Метод «от частного к общему вида и удовлетворяют условию . Подставим их в равенство

откуда имеем Метод «от частного к общему тогда

Проверкой убеждаемся, что для единственной найденной пары Метод «от частного к общему равенство действительно выполняется при всех таких, что Ответ:

2.Близкими (по методу решения) к задачам рассмотренной выше группы являются некоторые из задач типа: «Найти все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение». Например, в задачах с одной неизвестной Метод «от частного к общему (при условии единственности решения) обнаруживается, что наряду с число (или и т.д.) также удовлетворяет условиям задачи, а поэтому они должны совпадать. Отсюда находится, что Метод «от частного к общему , подставляется в исходное условие, и определяются искомые значения параметров, которые в конце проверяются.

Пример №361.

При каких значениях Метод «от частного к общему неравенство

имеет единственное решение?

Решение:

ОДЗ: Метод «от частного к общему . Обозначим через и функции в левой и в правой частях неравенства соответственно. Во-первых, так как , то наряду с решением пара также будет решением данного неравенства. Поэтому необходимым условием единственности решения является требование Метод «от частного к общему т.е. Во-вторых, так как то наряду с решением неравенство имеет решение Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы т.е Итак, если решение единственно, то это Метод «от частного к общему Найдём , для этого подставим и в исходное неравенство: следовательно, .

Проверка Метод «от частного к общему Найдём наибольшее значение функции Метод «от частного к общему»

причем на отрезке Метод «от частного к общему» функция возрастает, а на отрезке убывает, достигая в точке своего наибольшего значения Значит, и неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

Метод «от частного к общему» — единственное решение. Ответ: .

Пример №362.

Найти все , при которых система неравенств

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что если Метод «от частного к общему» — решение системы, то пара чисел также будет решением системы, поэтому необходимым условием единственности решения является требование Метод «от частного к общему» Подставляя в систему, получим неравенство которое имеет единственное решение Для проверки найденного значения параметра подставим его в исходную систему и проверим, будет ли она иметь единственное решение: