Для связи в whatsapp +905441085890

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Рассмотрим некоторое множество D точек на плоскости. Напомним ряд следующих определений.

Точка Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области называется внутренней точкой множества D, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области называется граничной точкой множества D, если в любой ее окрестности имеются точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие этому множеству.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей Г.

Множество D называется областью (открытым множеством), если все его точки внутренние.

Множество D с присоединенной границей Г, т. е. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области, называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.

Определение 22.1. Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом (абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) функции в этой области.

Теорема 22.1*. Абсолютный экстремум непрерывной функции Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области в области Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Пример 22.1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области в треугольной области Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области с вершинами Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Решение:

Изобразим область графически, рис. 22.1.

Найдем частные производные функции: Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Определим ее критические точки из решения системы уравнений:

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Таким образом, критической точкой функции является точка Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области, принадлежащая области Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Вычислим Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Исследуем поведение функции на границе области.

На отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области, следовательно, Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Найдем производную для Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области и определим критические точки на данном отрезке из решения уравнения Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Получаем, Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Вычислим значение функции в точке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Вычислим также значения функции на концах отрезка: Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

На отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области , следовательно Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Найдем производную для Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области и определим критические точки па данном отрезке из решения уравнения Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Получаем Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Вычислим значение функции в точке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Вычислим также значения функции на концах отрезка: Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области (получено ранее), Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Рассмотрим отрезок АВ. Он представляет собой часть прямой, проходящей через точки Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Получим уравнение данной прямой по формуле Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Имеем

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Таким образом, на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области, следовательно Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Имеем функцию одной переменной Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Найдем производную для Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области: Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области и определим критические точки па данном отрезке из решения уравнения Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Получаем Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Вычислим значение функции в точке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области Значения функции на концах отрезка вычислены ранее.

Сравнив все вычисленные значения функции, имеем Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности с примерами решения
Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных
Условный экстремум фнп с примером решения
Метод наименьших квадратов нахождения приближенной функциональной зависимости двух переменных