Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Определение 21.1. Функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных имеет локальный максимум (минимум) в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, если существует Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных-окрестность данной точки, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Пример 21.1.

Функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных достигает минимума в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Теорема 21.1 *(необходимые условия экстремума). Если функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных имеет экстремум в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, то каждая частная производная первого порядка данной функции или обращается в этой точке в нуль, или не существует.

Так же, как и в случае функции одной переменной, точки, в которых частные производные обращаются в пуль или не существуют, называются критическими (стационарными) точками функции Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Теорема 21.2* (достаточные условия экстремума). Пусть функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных — критическая точка функции Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных. Обозначим

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Тогда, если

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

то в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных имеет экстремум, причем если Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных — максимум, если Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных — минимум;

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных — функция экстремума не имеет;

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных -необходимы дополнительные исследования.

Заметим, что в случае Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, т. е. когда в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных функция не имеет ни минимума, ни максимума, поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь форму «седла». Например, Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных(рис. 21.1). В этом случае говорят, что в данной точке наблюдается явление минимакса.

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Теорема 21.3* (достаточные условия экстремума). Пусть функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных — критическая точка функции Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных. Тогда, если:

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, то в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных имеет максимум;

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных. то в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных функция Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных имеет минимум.

Пример 21.2.

Исследовать на экстремум функцию

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Решение:

Используя необходимые условия экстремума, найдем критические точки. Для этого найдем частные производные первого порядка

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

и решим систему уравнений

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Таким образом, получены две критические точки Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных и Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Для исследования характера критических точек найдем частные производные второго порядка Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Тогда Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Для точки Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, т. е. в этой точке функция не имеет экстремума.

Для точки Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, т. е. в этой точке функция имеет экстремум, причем Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, следовательно, это минимум.

Вычислим Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Если для определения характера экстремума использовать дифференциал второго порядка, то рассуждения будут следующие. Для данной функции

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Тогда

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

т. e. еще раз показано, что в точке Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных функция имеет минимум.

Ответ: Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Свойства градиента с примером решения
Касательная плоскость и нормаль к поверхности с примерами решения
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Условный экстремум фнп с примером решения