Оглавление:
Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных
Определение 21.1. Функция 
имеет локальный максимум (минимум) в точке 
, если существует 
-окрестность данной точки, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство 
.
Пример 21.1.
Функция 
достигает минимума в точке 
.
Теорема 21.1 *(необходимые условия экстремума). Если функция имеет экстремум в точке , то каждая частная производная первого порядка данной функции или обращается в этой точке в нуль, или не существует.
Так же, как и в случае функции одной переменной, точки, в которых частные производные обращаются в пуль или не существуют, называются критическими (стационарными) точками функции 
.
Теорема 21.2* (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка 
— критическая точка функции . Обозначим
Тогда, если
то в точке функция имеет экстремум, причем если 
— максимум, если 
— минимум;
— функция экстремума не имеет;
-необходимы дополнительные исследования.
Заметим, что в случае 
, т. е. когда в точке функция не имеет ни минимума, ни максимума, поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь форму «седла». Например, 
(рис. 21.1). В этом случае говорят, что в данной точке наблюдается явление минимакса.
Теорема 21.3* (достаточные условия экстремума). Пусть функция 
определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области D. Пусть точка 
— критическая точка функции 
. Тогда, если:
, то в точке 
функция 
имеет максимум;
. то в точке 
функция 
имеет минимум.
Пример 21.2.
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
Используя необходимые условия экстремума, найдем критические точки. Для этого найдем частные производные первого порядка
и решим систему уравнений
Таким образом, получены две критические точки 
и 
.
Для исследования характера критических точек найдем частные производные второго порядка 
Тогда 
.
Для точки 
, т. е. в этой точке функция не имеет экстремума.
Для точки 
, т. е. в этой точке функция имеет экстремум, причем 
, следовательно, это минимум.
Вычислим 
Если для определения характера экстремума использовать дифференциал второго порядка, то рассуждения будут следующие. Для данной функции
Тогда
т. e. еще раз показано, что в точке 
функция имеет минимум.
Ответ: 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
