Оглавление:
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений, теорема 4.3 Вейерштрасса (раздел 1). Будем предполагать, что на данном отрезке функция
имеет конечное число критических точек. Если наибольшее и наименьшее значения достигаются внутри отрезка
, то очевидно, что эти значения будут наибольшим максимумом и наименьшим минимумом функции (если имеется несколько экстремумов). Однако может наблюдаться такая ситуация, что наибольшее или наименьшее значения будут достигаться на одном из концов отрезка (рис. 9.1).
![Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7786.png)
Таким образом, неприрывная функция на отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах этого отрезка, либо в таких точках этого отрезка, которые являются точками экстремума.
Исходя из вышесказанного, можно предложить следующий алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции па отрезке
:
- Найти все критические точки. Если критическая точка
, то нужно вычислить в ней значение функции
. Если критическая точка
, то в дальнейшем решении эта точка во внимание не принимается.
- Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. найти
.
- Из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее и наименьшее, они и будут представлять собой наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Пример 9.3.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3; 3].
Решение:
Так как функция непрерывна на отрезке [-3; 3], то задача имеет решение.
1. Найдем критические точки функции.
![Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7793.png)
— критические точки.
Так как , то вычислим
, так как
, то вычислим
.
2. Определим значения функции на концах отрезка:
![Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7799.png)
3. Сравним вычисленные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее:
![Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/изображение-7800.png)
Ответ: .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: