Для связи в whatsapp +905441085890

Достаточные условия экстремума

Достаточные условия экстремума

Теорема 9.2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция Достаточные условия экстремума дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки Достаточные условия экстремума и непрерывна в точке Достаточные условия экстремума. Тогда, если Достаточные условия экстремума при Достаточные условия экстремума при Достаточные условия экстремума, то в точке Достаточные условия экстремума функция имеет локальный максимум; если Достаточные условия экстремума при Достаточные условия экстремума, то в точке Достаточные условия экстремума функция имеет локальный минимум.

Доказательство следует из теоремы 9.1.

Теорема 9.3 (второе достаточное условие экстремума). Если в критической точке Достаточные условия экстремума функции Достаточные условия экстремума существует Достаточные условия экстремума, а Достаточные условия экстремума, то при Достаточные условия экстремума функция имеет локальный максимум, при Достаточные условия экстремума — локальный минимум.

Доказательство.

Если в точке Достаточные условия экстремума существует вторая производная Достаточные условия экстремума, то первая производная Достаточные условия экстремума существует в некоторой окрестности этой точки Достаточные условия экстремума. Тогда Достаточные условия экстремума.

Пусть Достаточные условия экстремума. Тогда Достаточные условия экстремума.

При Достаточные условия экстремума производная Достаточные условия экстремума, т. е., согласно теореме 9.1, функция Достаточные условия экстремума возрастает; при Достаточные условия экстремума производная Достаточные условия экстремума, т. е. функция Достаточные условия экстремума убывает. На основании теоремы 9.2; в точке Достаточные условия экстремума функция имеет локальный максимум.

Случай Достаточные условия экстремума рассматривается аналогично. ■

Замечание 9.2. Так как теорема формулирует только достаточное условие, то при Достаточные условия экстремума, функция может как иметь, так и не иметь экстремум.

Пример 9.2.

Функция Достаточные условия экстремума имеет в точке Достаточные условия экстремума минимум, при этом Достаточные условия экстремума. Функция Достаточные условия экстремума не имеет в точке Достаточные условия экстремума экстремума, при этом также Достаточные условия экстремума.

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Правило Лопиталя с примерами решения
Исследование функции с помощью производных: теорема и пример решения
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке с примером решения
Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба с примерами решения