Непрерывность элементарных функций
Теорема 4.7*. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Докажем непрерывность некоторых из элементарных функций.
1. Функция 
непрерывна для 
.
Действительно, 
.
2. Функция 
, где 
, непрерывна для 
. Действительно,
Тогда многочлен от 
степени 
будет непрерывной функцией как сумма непрерывных функций вида 
рациональная функция 
будет непрерывной функцией во всех точках, где 
как отношение двух непрерывных функций.
3. Функция 
непрерывна на всей числовой прямой. Предварительно покажем, что 
Действительно, (4.3) верно при 
.
При 
если 
, то 
согласно доказательству первого замечательного предела; если 
, то (4.3) будет выполнено, так как функция 
четная; если 
, то (4.3) верно, так как 
. Тогда
согласно (4.3), т. е. 
. Отсюда следует, что если 
, то 
, т. е. функция 
непрерывна на всей числовой прямой.
Аналогичным образом доказывается непрерывность функции 
на всей числовой прямой.
Функция 
непрерывна в точках, где 
, т. е. в точках 
. Функция 
непрерывна в точках, где 
, т. е. в точках 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
