Свойства непрерывных функций
Теорема 4.1. Если функции 
непрерывны в точке 
, то функции 
(при условии 
(С — постоянная) непрерывны в точке .
Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функции.
Например, если 
, то
Замечание 4.1. Теорема справедлива и при любом конечном числе непрерывных функций.
Теорема 4.2 (Вейерштрасса). Функция 
ограничена на данном отрезке.
Доказательство. От противного.
Предположим, что функция 
не ограничена на отрезке 
. Тогда для любого 
найдется точка 
, такая, что 
.
Известно, что из ограниченной последовательности 
можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
, для которой 
(теорема 2.4 Больцано-Вейерштрасса). Тогда, с одной стороны, 
— в силу неограниченности 
с другой стороны, 
— в силу непрерывности функции 
.
Получено противоречие. ■
Теорема 4.3 (Вейерштрасса)*. Функция 
достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней.
Напомним, что точная верхняя грань М непрерывной на отрезке 
функции 
называется максимумом функции на этом отрезке: 
; точная нижняя грань m — минимумом функции па этом отрезке: 
. Напомним, также, что нулем функции 
называется всякое значение 
, при котором 
.
Теорема 4.4 (Коши о нулях функции). Если функция 
и на концах данного отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка 
, такая, что 
.
Доказательство.
Пусть, для определенности, .
.
Разделим отрезок 
точкой 
пополам. Тогда если 
, то искомая точка 
найдена и теорема доказана. Если 
, то возьмем ту половину 
отрезка 
для которой 
. Разделим отрезок точкой 
пополам. Если 
, то искомая точка 
найдена и теорема доказана. Если 
, то возьмем ту половину 
отрезка , для которой 
, и выполним очередное разбиение. Продолжив эти рассуждения, получим, что, либо через конечное число шагов найдется точка 
для которой 
, либо существует конечная последовательность вложенных стягивающихся отрезков 
, для которых 
. Согласно теореме 2.5 (Кантора) существует единственная точка 
общая для всех отрезков, причем 
Учитывая непрерывность функции 
и переходя к пределу в неравенствах 
, получим
откуда
Теорема 4.5 (Коши о промежуточном значении). Если функция 
— любое число, заключенное между А и В. то найдется точка 
, в которой 
.
Доказательство.
Пусть, для определенности, 
. Тогда для функции 
имеем
Итак, функция 
на концах отрезка 
имеет разные знаки. Согласно теореме 4.4 существует точка 
, такая, что 
. Следовательно, 
. ■
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
