Для связи в whatsapp +905441085890

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Пусть функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке определена на некотором множестве X.

Определение 4.1. Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется непрерывной в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, если она определена в некоторой окрестности точки Определение непрерывности функции в точке и на отрезке и существует конечный предел

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Пример 4.1.

Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке непрерывна на всей числовой прямой.

Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, имеет разрыв в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, так как не существует Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.

Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке имеет разрыв в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, так как

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение 4.2 (по Коши). Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется непрерывной в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, если она определена в некоторой окрестности точки Определение непрерывности функции в точке и на отрезке и

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение 4.3 (по Гейне). Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется непрерывной в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, если она определена в некоторой окрестности точки Определение непрерывности функции в точке и на отрезке и для любой последовательности Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, т. е. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.

Рассмотрим определение 4.1, согласно которому выполнено

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Тогда Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Внесем Определение непрерывности функции в точке и на отрезке под знак предела и учитывая, что Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, получим

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Разность Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется приращением аргумента в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке и обозначается Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, разность Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется приращением функции в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, соответствующим приращению аргумента Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, обозначается Определение непрерывности функции в точке и на отрезке или Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Тогда (4.1) можно представить в виде

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение 4.4. Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется непрерывной в точке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, если она определена в некоторой окрестности точки Определение непрерывности функции в точке и на отрезке и ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, т. е. выполнено (4.2).

Определение 4.5. Функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке называется непрерывной на отрезке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, если она непрерывна во внутренних точках отрезка, а в граничных точках существуют односторонние пределы.

Заметим, что множество функций, непрерывных на отрезке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке принято обозначать Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, поэтому, если функция Определение непрерывности функции в точке и на отрезке непрерывна на отрезке Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, это можно показать следующим образом: Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Первый замечательный предел: доказательство и примеры с решением
Бесконечно малые и бесконечно большие функции для предела функции с примерами решения
Свойства непрерывных функций: теоремы и доказательство
Непрерывность сложной функции: теоремы и следствия