Оглавление:
Первый замечательный предел
Доказательство.
Рассмотрим круг радиусом R с центром в точке О. Пусть ОА -неподвижный радиус, ОВ — подвижный, образующий угол 
радиусом ОА (рис. 3.2).
Проведем из точки А перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ. Тогда
Так как 
то неравенства (3.2) примут вид
после умножения на 
имеем 
Разделим все члены неравенств на 
. Получим
Вычтем (3.3) из числового тождества 1 = 1 = 1.
Получим
Так как 
, то при 
получаем
Возьмем 
и положим 
Тогда для всех 
, удовлетворяющих условиям 
, будет выполнено неравенство 
. Поэтому
откуда
Это означает, что
Так как функция 
четная, то 
. В силу теоремы 3.2, 
. ■
Следствие 3.1 *. 
.
Пример 3.4.
Доказать, что 
Решение:
1. В процессе доказательства первого замечательного предела получено 
при 
. Очевидно, что 
при 
. Тогда 
при 
; Так как для указанных значений выполнено 
, то переходя к пределу при 
, на основании свойств функций, имеющих предел, получаем 
.
2. Так как 
при 
, то 
.
Вывод. Требуемое доказано.
Пример 3.5.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 1.
Пример 3.6.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 0.
Второй замечательный предел
Из теории последовательностей известно, что 
.
Пусть 
. Положим 
, тогда 
, где 
— натуральное число, 
. Так как 
, то 
. Тогда
Перейдем к пределу при 
:
, откуда 
.
Пусть 
. Положим 
. Тогда
Объединив два случая, получим 
■
Следствие 3.2*. 
.
Пример 3.7.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 3.8.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 
Пример 3.9.
Вычислить 
Решение:
Ответ: 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
