Оглавление:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 3.5. Функция называется бесконечно малой функцией (БМФ) в точке (или при ), если .
По определению предела функции в точке:
Аналогичным образом определяются бесконечно малые функции (БМФ) при .
Теорема 3.3. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа БМФ при , а также произведение БМФ на ограниченную функцию, являются БМФ при .
Доказательство следует из определения предела функции по Гейне и теорем о БМП.
Пусть в некоторой проколотой окрестности точки определены функции , являющиеся БМФ при .
Определение 3.6. Функция называется БМФ более высокого порядка, чем при , если .
Если при этом , то называется БМФ порядка по сравнению с БМФ при .
Обозначается: при .
Определение 3.7. Функции и называются БМФ одного порядка при , если , где С — конечное число, отличное от нуля.
Определение 3.8. Функции называются эквивалентными БМФ при , если .
Обозначается: при .
Пример 3.10.
Функции являются при БМФ одного порядка.
Действительно,
Пример 3.11.
Функция является при БМФ второго порядка малости по отношению к БМФ .
Действительно,
Теорема 3.4*. Предел произведения или частного БМФ не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей БМФ.
Пусть — БМФ при .
Имеют место следующие эквивалентности:
Пример 3.12.
Вычислить .
Решение:
Ответ: 5.
Как и в случае установленной в теореме 2.2 связи последовательности, ее предела и БМП, аналогичная связь наблюдается и между функцией, ее пределом и БМФ.
Теорема 3.5. Число А является пределом функции в точке тогда и только тогда, когда имеет место равенство
где — БМФ при .
Доказательство.
Необходимость.
Пусть . Тогда, обозначив , получим
т. е. — БМФ при .
Достаточность. Пусть , где .
Покажем, что . Имеем
Определение 3.9. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) в точке (или при ), если . В этом случае пишут: . Если , если .
По аналогии с ББП, можно сформулировать основные свойства ББФ:
1. Произведение двух ББФ есть ББФ.
2. Если в некоторой проколотой окрестности точки для функции выполнено условие , где С — константа, а — ББФ при , то функция — ББФ при .
3. Если — ББФ при , то функция БМФ при . Если — БМФ при (причем в некоторой проколотой окрестности точки ), то функция — ББФ при .
Заметим, что в случае вычисления предела выражения при , где — БМФ при , считают, что получена неопределенность типа ; в случае вычисления предела выражения при , где — ББФ при , считают, что получена неопределенность типа ; в случае вычисления предела выражения при , где — ББФ при , считают, что получена неопределенность типа ; в случае вычисления предела выражения при где есть БМФ и есть ББФ при , считают, что получена неопределенность типа . В решении задач встречаются также неопределенности типа . Выражение «раскрыть неопределенность» означает — найти предел соответствующего выражения, если он существует.
Пример 3.13.
Вычислить .
Решение:
Ответ: .
Пример 3.14.
Вычислить .
Решение:
Ответ: .
Пример 3.15.
Вычислить .
Решение:
Ответ: 3.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: