Оглавление:
Непрерывность функции в точке
- Рассмотрим хотя бы определенную функцию / (х) Так как он находится в окрестности a∈R, в этой точке Функции имеют очень четкое значение / (а). в Введение понятия предела функции в точке а (см. 7.1) Было подчеркнуто, что этот пункт может не принадлежать Домен функции, и если он принадлежит, Значение / (а) не играет никакой роли. При введении концепции Непрерывность функции в точке; значение в этой точке Играть важную роль. Определение 9.1. Функция} (x) вызывается В этом случае непрерывно в точке a∈R (или при значении x = o) Точка, в которой существует конечный предел функции и совпадает с ним Его значение f (a), т.е. если (Lim lim f (x) e R) Λ (Cn / (*) = f (»)). HK (9.1)
Определение 9.2. Функция f (x) называется Непрерывно с a∈R независимо от числа e> 0 Таким образом, для каждого x∈R существует число 6> 0, Условия, удовлетворяющие неравенству μ-α \ <5 — / (A) | 0 и части линии графика Точка М полностью находится внутри штриховочной полосы. Проекция этой части линии на горизонтальную ось Ox Интервал (xi 0 Идея непрерывности функциональной линейной диаграммы Определение непрерывности функции до 9.2 / (x) в точке a € R Обратите внимание на важные аспекты. Определение непрерывности функции в языке e-S 9.2
Уточнить содержание этого определения на языке e-6 Эквивалентные определения могут быть сформулированы. Людмила Фирмаль
Определение указывает на точность, с которой значение должно быть установлено Аргумент функции для получения значения Работает с заданной точностью. Вот эта практическая сущность Определение 9.2 разъясняет, почему так много внимания уделяется Учитывая утверждение языка е-8 в понятии ограничения, Преемственность и смежные вопросы. Определение 9.1 Непрерывность функции Используйте другой формат. Аргументы функции Значение € R для другого значения x может быть выражено как: Приращение аргумента (положительное или отрицательное) € R в какой-то момент Ax = x-a. (9.3)
Тогда новое значение f (a + Ax) функции y = f (x) Каково предыдущее значение f (a) Au = D / (a) = Dx) — / (a) = / (a + Axe) — / (a), (9.4) Вызывается приращение Работает с ∈R. Геометрический смысл приращения Рисунок 9.3, А и А Положительно. Общий случай У каждого может быть любой Войти. (9.1) f (x) — »/ (o) как x- * a, c Учитывая (9.3) и (9.4), это D / (a) — * 0- \ 0 для Ax, т.е. / (a) является функцией Бесконечный (b.m.) с Ax-> 0. Таким образом, Определения 9.1 и 9.2 эквивалентны следующим определениям:
- Определение 9.3. Функция f (x) называется Приращение функции в этой точке Функция, b.m Ax-> 0, т.е. lim Dy = Hm A / (a) = 0. (9.5) Dh- »0 Diag-40 ‘to’ Пример 9.1 а. Функция f (x) = c = const Поскольку Va∈R A / (a) = f (x) -f (a) = 0, каждая точка a∈R (9.5) Держи. б. Функция f (x) = x также непрерывна в каждой точке Va G R A / (a) = f (x) -f (a) = x-a = Ax и (9.5) Держи. с. Функция / (x) = sinx непрерывна в любой точке 6 R. У нас есть Ах / ах f + Ах / Ах \ Я -sinz | = 2sin- «cosf x + -) \ Из | cos (x + Ax / 2) | ^ l, a | sin (Ax / 2) | <| Ax | / 2 (см. (7.34)). Следовательно, Af (x) -Ax × 0 и 0 0 для условия Определение непрерывности конкретной функции в любой точке 9.3 € R. #
Используя теорему 7.2, «На языке После 14 14 Определение, эквивалентное другому определению Определения 9.1 и 9.3. Определение 9.4. Функция f (x) называется Если оно сходится к a, оно непрерывно с a∈R Последовательность значений {xn} для аргумента x £ R Соответствующая последовательность значений функций {f (xn)} сходится к / (а), т.е. если V {xn}: lim {xn} =: a = * 31im {/ (* n)} = / (a). Подтвердить на основе примера 9.2 Определение 9.4 Непрерывность каждой экспоненциальной функции f (x) = ax Точка x∈R. Рассмотрим произвольную последовательность {n}. Сходится к x, указывая, что {aXn} сходится к ax. По словам Определение 6.3 Ограничения последовательности, должны отображаться N £ N существует для любого €> 0 Vn> N \ aXn-ax \ N. При выполнении обратного рассуждения, Как и прежде, если η> N \ aXn-ax \ <e, Это сходимость {aXn} к топору ( Определение 9.4) Непрерывность функции f (x) = ax в каждой точке Хек.
Смотрите также:
| Пределы действительных функций | Свойства функций, непрерывных в точке |
| Признаки существования предела действительной функции | Односторонняя непрерывность. Точки разрыва |
