Оглавление:
Оценивание параметров экспоненциального распределения
- Оценить параметры сдвига, используя известные параметры Масштаб. Xi, i = 1, …, N являются независимыми sp. с. По плотности (G7 ((* -t) / o) где Px) = Сосредоточиться на распределении вероятностей X, (q, + oo) И, как мы уже видели в § 3, параграф 4, мы можем оценить q с помощью Статистика X (т). Распределение вероятностей X (n легко найти , …. Xn> x) = / • ¦, x> μ, A) Средние n дисперсий равны = o2 / n2. B) Предполагая, что параметры известны, смещение оценки X (i) равно Вместо этого X (n-a / n. Если вы не знаете, Затем попробуйте заменить неизвестное выражением X ^ —a / n. Его оценка того же образца. 2. Оцените параметры шкалы, используя известные параметры Shear. Рассмотрим проблему оценки.
Это известно. с того времени MX, = q + o, C) В качестве оценки Oienka G (X) несмещен, и его дисперсия равна o * / n. с того времени Y = (X, -z) / o, i-12p, D) -экв. стандартная экспоненциальная плотность / (*) N V Kj-, который можно использовать для плотности распределения Формула, полученная в §5: Распределение плотности г (у / 2) / 2 составляет 2n градус xn квадратное распределение называется гистнке Бесплатно; спецификация x22l. Обратите внимание на экспоненциальное распределение Распределения с плотностью от 1 / 2e до x / 2 являются одновременно xVpacnpe- Отдел. Следующий абзац L Из вышесказанного, статистика 2 V Yt Распределение, а с (-1 Go, используя обозначение xp p-квантиля x2gp,
Детали распределения x2 описаны ниже. Людмила Фирмаль
Мы получаем Следовательно, доверительный интервал для o можно записать как В форме xa2 <2nT (X) / o ;; — ,; 1mstrai m = 1, o = 2 использовать таблицу случайных чисел 45 [1]. Если U равномерно распределено эл.в., 0 (- То есть есть ц. —U имеет стандартное экспоненциальное распределение- Распространение. Образцы r, -, / = 1, …, n из равномерного распределения на [0, 1]. Получить 4-значную группу таблицы распределения. 7.1, а [1]. тогда Уравнение n, = -21пг. Создайте образец .Vi, / = 1, …. n в соответствии с +1. 7,442 2,90G 4,481 3,239 1,725 3,8-14 1,982 3.372 7.550 2.458 2.009 1.353 3.219 4.288 5.374 3.294 1.244 3.346 3.949 1.491 Рассчитать 1,244; х = 3,4283.
Предполагая, что значение параметра a = 2 известно, В качестве объективной оценки] я получаю xn — o / 20 = 1,244— -0,1 = 1,144. Предполагая, что q известно, тогда: Несмещенная оценка a: T (x) = x — μ = 2,4283. По данным таблицы 2.2 и [1] Найти значение распределения / квантиль 24с. 25 = 24,433; l-0,975 = 59,342 Вычислить границы доверительных интервалов, используя коэффициенты Надежность 0,95: 2pt (x) / d- o.975-1.636; 2pG (x) / l-0.o25 = 3.975. 3. q и o балльная оценка. Если вы не знаете оба параметра, вы можете получить оценку o, D) Заменить μ его оценкой X ()). a = X — X (i). А) и С) показывают, что а является предвзятой оценкой.
- Следовательно, объективная оценка N —X (i)) — E) п-1 п-л Несмещенная оценка параметра µ, очевидно, полезна c * = xa) -o * / i. F) 4. Распределение интервалов между статистикой заказа Статистик. Лемма 1. Пусть ,,, i = 1, …, n независимый sp. с. и Стандартная экспоненциальная плотность f (y) = e-y, y> 0, a } ‘(I) ^ KB) ^ … ^ K (n) -порядок статистики. Затем я поел. с.= (—— i + 1) (Y (,) — Yu-d), ‘= 1. ¦ ••. «. @) = 0, независимый Плотность f (z). Доказательство. Легко увидеть событие Yit 0, » ‘= 1, … Мы получаем Kf_1)> x1-, i = l l) = = «! <» (K, -K, _,> Xi / (n-i + 1), i = 1n) = = И! \ e-U’dy, \ e-Ch’yu …. J j = п! я к vxdyx. , Я ^ ¦ «¦ ‘» — • dyn— \ -e n t’n lx «•! CD х J «) 2 1 Замечания. Лемма 1 есть
Результат свойства отсутствия экспоненциального последействия Распространение. Представьте, что Y ,, i = l, …, n время Срок службы оборудования размещен одновременно для испытаний. Tog- Затем U (P — время до отказа «худшего» устройства, Следуя А), он имеет плотность ηe ~ «\ y> 0. Момент Y (i) Характеристики без экспоненциального распределения Можно считать первым рабочим моментом Осталось — «вживую» — одно устройство. Следовательно, Yw — Y ,,) Время до «худшего» отказа этих устройств n-1 составляет Эти аргументы, такие как распределение плотности (n-1) e- {1n1 \ y> 0
Вывод может быть строгим, но доказательства выше Доказательство короткое. Людмила Фирмаль
Теорема 1. Давайте есть. с. Xj, i = l, …, n независимы и идентичны Плотность a ~ | e- (A ‘~>’) / a, x> µ, равномерно распределена. Затем я поел. с. nX (l), (n — i + l) ( (, ¦, -X (, — |>), 1 = 2, …. / r, Без звука, nA ‘(|, 0-1 <; — (* — «») / «, x> pi плотность, (- / I I) (/ Yf;, — Xi, _n), i-2, …, n, одинаковая плотность о » 0. 47 Доказательство. Из уравнения D) получается k el. с. Y -X ) / o,» = 2l, G) Он независим и равномерно распределен при плотностях e ~ x, x> 0. 5. Дисперсия справедливых оценок c *, o *. Интервальная оценка с оценкой и.
Это легко проверить {—2 ¦ =:> -XA) = о-. (8) Используйте теорему 1, чтобы найти дисперсию несмещенной оценки. N 1 = 2 (~ 2 (9) л * (л-1) л, Г), эл.в. 2 (n-1) o * / o имеет распределение % 2 (n-i) (см-n- ^) «и 2n (X0) -q) / o независимо от o * el.v Распределение Xr (т.е. распределение с плотностью ‘/ гв «» *’ 2 » х> 0). Это подразумевает следующие шаги сборки Доверительные интервалы для q и o. пусть xp будет p-квантилем распределения Формат интервала o is 2 (n-1) o * / * .- a / 2 <o <2 (n-1) a * / ha / 2. A0) Чтобы построить доверительный интервал для q, Я ел. с. , -C) = 2n (X (|) -c) / a (P) 2 (n-1) o * 2 (l-1) o * / o
Слово с. А1) выражается как отношение двух независимых елей. В, имеет распределение xn-2, умноженное на l-1 Распределение Фишера F2.nn- ) (c \ i.Sec. 7§7). XP- 48 Квантиль этого распределения. Тогда получите p-trust интервал c: X0) -DS1-b / 2a * / n <μ <XA) -xt / 3a * / n. A2) Пример 1 (продолжение). Для экспоненциальной выборки Для q = 1, o = 2, 20 хА) = 1,244; (Ds @ -xA)) = 44,93; 1 = 2 20 o ‘-i] g (xA-, -x (I)) = 2364; t- = dsA) -1-o- = 1,125 1-2 Если вы используете квантильную таблицу Xzv, ее можно получить по формуле A0) а = 0,05 доверительный интервал для о: 2-44,98 / 56,895 <о <2-44,93 / 22,878 или 1,579 <а <3,927. Вычисляет квантиль xp распределения F2.38 с pi = 0,025 и p2 = 0,975 Рассчитайте в примере § 7, пункт 7: xPt = 0,025; xp = 4,071. [Учимся доверять г 1,244-4,071 • 2,304 • 0,05 <q <1,244-0,025 • 2,364 • 0,05, Отсюда и A2, получить доверительный интервал для μ при p = = 0,05: или
Смотрите также:
| Экспоненциальное распределение и пуассоновский процесс | Оценивание по первым г порядковым статистикам |
| Условное распределение точек пуассоновского процесса | Гамма-распределение |
