Оглавление:
Определение и простейшие свойства характеристических функций
- Характеристические определения функций и простейшие свойства В предыдущей главе мы описали анализатор, который генерирует функции. Это успешно использовалось в задачах изучения свойств распределения целочисленных случайных величин. В общем случае характерную роль выполняет характеристическая функция.
- Чтобы определить их, нам нужно распространить понятие математических ожиданий на сложные случайные величины. £ = £ + я%. Далее математическое ожидание комплексной случайной величины определяется как сумма U = u + / мл- (1) Основные свойства математических ожиданий (например, свойства аддитивности и умножения) естественным образом переносятся в случай (1).
Где £ и r] — пары существующих конечных MS и Mr вещественных случайных величин. Людмила Фирмаль
Мы только посмотрим на доказательство неравенства IMS | qftn * и, следовательно, в = SPb-P? Затем, по определению, Щ, Мп У нас есть M £ = обод OO Где Xa-5n + ‘Xa’ для любого n | M £ dKM | £ l I. lim M | | = M 1C |. На самом деле, из L-> 0O \ 1n \ <\ 1n \ + ^ ^ 1n + K + <+ \ < <6+ + D + H + + H «» W + 1 CH1 Теорема Лебега об измеренной сходимости Это означает, что M | £ | | — * M | £ |, потому что рассматривается только случай M | £ 1 и любого целого числа η> 1 А-О, я Доказательство.
С тех пор т я ^ eiudu-1 | <^ du = \ φ |. Дальнейшее доказательство (8) • я Но индукция. (8) Это верно для некоторых л. После этого, 0 4 L-J ‘X to-0’ тогда -Z-м! 11 = II («‘» -Z -m) ^ I < ^ 3P \ (II + 1) 1 и 2) Чтобы доказать событие, рассмотрим событие A = ^ llfcl ^ и правую часть неравенства I и / являются индикаторами для событий A и A, л А Η = 1 при оценке первого слагаемого и неравенство eb (8) при оценке второго слагаемого.
Тогда 1 / (* + A) — / (0k | A | .M | 6 | / d + 2M / s < <: \ H \ X + 2P {\ Z \> X}. б> 0. Сначала установите P {| £ 1 >> Jf} <-and 6, и вы получите его 1 / (‘+ A) — / (/) | = e «bMettal = eltbfx (at). 4) Если Si, …, In независимы, От независимости ••• E £ n продолжается независимо «I. Wi Мосты, е, •, .., е; применяя к ним мультипликативное свойство математических ожиданий, / | + + | ad-m * A = mD * * = TsmL ‘t, + … 7 A-1 A-1 B) / i (- *) * -0 /? р (0 = т-9-оо, Доказательство.
Дифференцируя k (k) формально, получим уравнение / f (0 = I * M & V’W 5 xkeltxdFx (x). Предполагая / = 0 в (12), получаем (10). Чтобы обосновать справедливость производной по математическому ожиданию (12), сделайте вывод по индукции. Предположим, что уравнение (12) справедливо при k <n. —- M5-b- (1 <3) (12) <я £ f + I и M | £ | * + 1 <оо, ig коэффициент усиления.
Тогда в правой части (13) предел h — * — 0 может быть достигнут по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Поэтому мы докажем справедливость (12) для k + l. Применим лемму 1 к разности, чтобы оценить остаточный член Rn (t \ in (11)). L m J ^ uLtfly №) * IT «1 Mlf, n-n7, / г и я + 2M1 £ ti / d, (n) Где A — событие, введенное в 2) (первый член использовал неравенство (8), а второй использовал неравенство) зеленый Взлом, если Ia = 1, из (14) Пусть е> 0.
- Во-первых, M | \ R L <-j, а 6 = -от | / | <6 Я / я Что вам нужно 7) Когда сifφ * (s) = Ms1 является производящей функцией целочисленной случайной величины L0 = ΦE (e «). 05; Это происходит из определения. Расчет характеристических функций некоторых правил распределения. 1) Используйте уравнение (15), чтобы получить характеристическую функцию следующего распределения целочисленной случайной величины.
а) биномиальное распределение P (1 = rrt) = CZpm (\ -p) n, m = 0,1,1, h (t) = (шкурка + l-p) n. б) распределение Пуассона P {£ = n} = — £ e-c. я = 0, 1,2 ….. (0 = exp (a (e «-1)). в) Геометрическое распределение P (l = n) = pqn, n = 0,1,2 ….. <7 = 1- / 5 / 1 (0 = 7 — ^ — 77 «. 1-Кель 2) Вырожденное распределение P (£ = C) = 1 3) Нормальное распределение.
Если случайная величина I имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1), / (0 = — == ■? Людмила Фирмаль
E ‘»-‘ » 2 дх. (16) V в J Дифференцирующее уравнение (16) по / дает Γ (/) = dx. W V2.1 J да Частично интегрируйся и прибывай по-разному во Владиення = [+ it \ eitx ~ ** = — // (0. L-ao-oo Решение этого уравнения с начальными условиями / (0) = 1 дает Согласно свойству 3) общий случай нормального распределения с параметрами (а, а): i (l) = etta-0Ht / 2. (17) 4)
Униформа с (atb) распределением / ш-т (13> но Остерегайтесь конкретных случаев (18). О a = —ltb = / / «- ■ ^ 3 ^ — * . A Если a = 0 и b = L, / O- „I 5) гамма-распределение с плотностью Из-за () fa (0 — характеристическая функция, соответствующая pa (x). ® — это pa (* 1) И пт (х): X Ой ой Э-Х П, 0 + 0-1 о Тогда, благодаря 4, fo + 3 (/) = fa (0 / e (0-первый, В QO () = $ () Dx = \ eltX ~ * Об интеграции для каждой части.
Мы получаем f, (t) ^] ei, x «dx-eu * -x \ + n \ eltx-xdx * = 1 +» /, (/) 0 0 и /. (‘) = TG7G- <20> Любое целое число от (20) фн • fi (0 = [/ 1 / n (0r, мы / я (/) = (! -и / m, n (0 = [/ l / rt (/)] m = (l — это) до m, n, поэтому любой рациональный a> 0 fa (0 = (l- «re. (21) Поскольку плотность Pa (x) постоянно зависит от a, как видно из 39, от pa (x) до pa (x) есть / (t) — + fa (t) н н Уравнение (21) справедливо для всех a> 0. Обратите внимание, что для дроби a однозначная ветвь с / a (0) = 1 отличается от многозначной функции (21). X
Смотрите также:
Решение задач по математической статистике
| Теорема непрерывности | Формулы обращения для характеристических функций |
| Ветвящиеся процессы | Определение математического ожидания |
Если вам потребуется помощь по математической статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
