Ветвящиеся процессы

Ветвящиеся процессы

• Отраслевой процесс Пример ветвящегося процесса показывает приложение устройства, которое генерирует функции. Предположим, у вас есть несколько частиц одного типа, которые растут независимо друг от друга. Пусть pn — вероятность того, что одна частица изменится на n часов о tic, <p (s) = Yj Pn $ n — функция распределения генератора Вероятность вероятности {pn}.

• Количество частиц l-го поколения представлено q (/), и <p <(s) = генераторная функция μ (t). Предположим, что μ (0) = 1. Тогда qp, (s) = Φ (s). Пусть | q9 …. | m. … являются независимыми случайными величинами с распределением, определяемым функцией генератора φ (s). Тогда число частиц поколения (/ + 1) m (* + 1) по определению равно сумме +++ •• ++ 1 ^ .

11 (случайное число из 0 независимых случайных членов (£ / * — число потомков fc / частиц второго поколения.) Людмила Фирмаль

Согласно теореме 2 это φ <-u00 = φ <(φ ($)), (15) То есть φ2 (α) = φ (φ (**)), φ3 (5) = φ (φ (φ (5))), φt (s) — это итерация функции φ (). Соотношение (15) позволяет вычислить τ ((/) = ((/). Φ ‘(1) = ^ == A. Различить (15) по s в точке 1. A ( (+1) = A (t) -A, откуда L (f) = L ‘(16) Поведение процесса разветвления во многом определяется значением параметра A, среднего числа прямых потомков частицы. От (16), оо A (0-> 0, << 1, если ((/) -> if / 4> 1, 1, если / 4 = 1.

Процесс ветвления называется докритическим, сверхкритическим или критическим, если каждый A <1 Рисунок 11. График функции генерации φ (s) для докритических и критических ветвящихся процессов. Если d (/) = 0, мы говорим, что процесс разветвления в данный момент выродился /. Вероятность этого события PW0 = 0} = ο ограничено lim P {μ (/) = 0} = / оо Это называется вероятностью вырождения.

• Предельная вероятность q — это вероятность того, что процесс выродится в любом поколении. Предположим, что φ (s) Φs. Докажем следующую теорему. Теорема 4. Порядок q <. Необходимо и достаточно, чтобы процесс был сверхкритическим. Доказательство. Соотношение (15) можно описать по-другому. фут ($) = φ (φ * (*)) — (17) Подстановка s = 0 в (17) дает Ф ++ ((0) — ФМО)). (18)

Если вы превысите предел oo в (18), <7 = f (?)> <7 = Htt, поэтому (0). Таким образом, д является решением t- * oo уравнение * = φ (5). (19) Решение этого уравнения всегда 5 = 1. Если в [0,1] нет других решений, q = 1. Если Λ> 1, все 0 <s <y <1, неравенство s </ <φ ($) (см. Фиг. 11). Фактически, когда s <0 <1, 1 − φ (s) = φ ′ (c) (1-s), так что φΓ (c) <1 и 1 − φ ($) <1-s продолжаются вы.

Если 0 Следовательно, уравнение s = оу /, = ф (s) не может иметь более двух A> f. Людмила Фирмаль

Маршрут [0, 1]. φ (0) $ 5 и после 12. Существует граф генерации> S \ <1, и его движущая функция <p (s) φ ($ 1) <s, кодифицированная ось dct текущего процесса Есть OsSSoCl (рис. 12). Докажите, что в этом случае q =. Фактически нетрудно подтвердить, что φ ())> 5 для 0 φ * (0), из (18) Φ / (0) <Φ (Φ, (0)) В результате Φ / (0) <$ o для всех t и q = шф / (0) ^ 5 ° <I. Следовательно, вероятность q равна Может быть равно 1 и является корнем уравнения (19), поэтому q = so <1. Теорема доказана.

Смотрите также:

Решение задач по математической статистике

Мультипликативное свойство	Определение и простейшие свойства характеристических функций
Теорема непрерывности	Формулы обращения для характеристических функций

Если вам потребуется помощь по математической статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.